Qual é a energia de ionização do hidrogênio? Como ela se relaciona com os níveis de energia do hidrogênio?

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
  • Qual é a energia de ionização do hidrogênio?
  • Como essa energia se relaciona com os níveis de energia do átomo de hidrogênio?
Não há valores numéricos dados no enunciado; portanto a resolução usará as fórmulas padrão para os níveis de energia do hidrogênio e constantes físicas conhecidas.

Passo 2

Apresentar a fórmula dos níveis de energia do hidrogênio e explicar cada símbolo.
A expressão para a energia do elétron no nível principal n (modelo de Bohr / solução exata da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio) é
E_n = -\dfrac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\,\dfrac{1}{n^2},
onde:
  • E_n é a energia total do elétron no nível n (em joules, J);
  • m_e é a massa do elétron;
  • e é a carga elementar (módulo);
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo;
  • h é a constante de Planck;
  • n\in\{1,2,3,\dots\} é o número quântico principal (nível).
Essa fórmula resulta de duas ideias físicas principais (resumidas de forma passo a passo):
  1. Equilíbrio entre força coulombiana e força centrípeta para movimento circular (no modelo de Bohr): \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r^2} = \dfrac{m_e v^2}{r}.
  2. Quantização do momento angular (condição de Bohr): m_e v r = n\hbar, com \hbar=\dfrac{h}{2\pi}.
Juntando essas duas equações obtém-se o raio r_n e a velocidade v_n; em seguida calcula-se energia cinética e potencial e soma-se para obter E_n. O detalhe algébrico dá exatamente a expressão acima com o fator \dfrac{1}{n^2}.

Passo 3

Apresentar o valor numérico convencional e a forma mais usada (em elétron-volts) e explicar a conversão.
A constante na frente avaliada com as constantes físicas dá numericamente
E_n = -\dfrac{2{,}179872\times10^{-18}\,\text{J}}{n^2} = -\dfrac{13{,}598\,\text{eV}}{n^2}.
Aqui:
  • o valor -2{,}179872\times10^{-18}\,\text{J} é a energia do estado fundamental ( n=1) em joules;
  • -13{,}598\,\text{eV} é o mesmo valor expresso em elétron-volts, usando 1\,\text{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\,\text{J}.
Explicação da conversão: para passar de joules para elétron-volts divide-se por 1{,}602176634\times10^{-19}\,\text{J/eV}.

Passo 4

Definir energia de ionização e calcular a partir dos níveis de energia.
A energia de ionização é a energia necessária para levar o elétron ligado a um nível n até o elétron livre (energia de referência do elétron à distância infinita), isto é, até E_\infty = 0. Portanto, a energia de ionização a partir do nível n é
E_{\text{ion}}(n) = E_\infty - E_n = 0 - E_n = -E_n = \dfrac{13{,}598\,\text{eV}}{n^2}.
Particularmente, da configuração fundamental ( n=1) a energia de ionização do hidrogênio é
E_{\text{ion}}(n=1) = 13{,}598\,\text{eV}.

Passo 5

Converter esse valor para joules por átomo e para kJ por mol (valores usados com as constantes oficiais).
Converter para joules por átomo:
E_{\text{ion}}(1) = 13{,}598\,\text{eV}\times 1{,}602176634\times10^{-19}\,\dfrac{\text{J}}{\text{eV}} = 2{,}179872\times10^{-18}\,\text{J}.
Converter para energia por mol (multiplicando por N_A = 6{,}02214076\times10^{23}\,\text{mol}^{-1}):
E_{\text{ion, mol}} = 2{,}179872\times10^{-18}\,\text{J}\times 6{,}02214076\times10^{23}\,\dfrac{1}{\text{mol}} \approx 1{,}312\times10^{6}\,\dfrac{\text{J}}{\text{mol}} = 1{,}312\,\dfrac{\text{kJ}}{\text{mol}}.
Esse é o valor frequentemente citado: cerca de \,1{,}312\\ \text{kJ/mol}.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a ideia (como usar na prova).
  • Energia do nível n=2:
E_2 = -\dfrac{13{,}598\,\text{eV}}{2^2} = -3{,}3995\,\text{eV}.
  • Energia necessária para excitar de n=1 para n=2 (emissão/absorção de fóton):
\Delta E = E_2 - E_1 = -3{,}3995 - (-13{,}598) = 10{,}1985\,\text{eV}.
Esse \Delta E corresponde ao fóton da série de Lyman mais forte, com comprimento de onda \lambda = \dfrac{hc}{\Delta E} (resultando em \lambda\approx 121{,}6\\ \text{nm}) — isso ilustra como os níveis e diferenças entre eles dão as linhas espectrais.

Passo 7

Resumo conceitual simples e motivador (para decorar para a prova).
  • Os níveis de energia do hidrogênio são dados por E_n = -\,13{,}598\,\text{eV}/n^2.
  • A energia de ionização a partir do nível n é simplesmente |E_n| = 13{,}598\,\text{eV}/n^2.
  • Em particular, da base ( n=1) a energia de ionização é 13{,}598\,\text{eV} (ou 2{,}179872\times10^{-18}\,\text{J}, ou \approx 1{,}312\,\text{kJ/mol}).
Vai dar certo — decora essa relação \propto 1/n^2 e os números básicos ( 13{,}6\,\text{eV} e \approx 1{,}312\,\text{kJ/mol}) que são os que mais caem em prova.

Resposta

E_{\text{ion}}(n=1)=13{,}598\,\text{eV}=2{,}179872\times10^{-18}\,\text{J}\approx1{,}312\\ \text{kJ/mol}\n
Relação com níveis: E_n=-\dfrac{13{,}598\,\text{eV}}{n^2}, portanto E_{\text{ion}}(n)=-E_n=\dfrac{13{,}598\,\text{eV}}{n^2}.

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