A engrenagem
tem massa de 10 kg e raio de giração de 200 mm ; a engrenagem
tem massa de 3 kg e raio de giração de 80 mm . O sistema está em repouso quando um binário M de intensidade
é aplicado à engrenagem
. Desprezando o atrito, determine (a) o número de revoluções executadas pela engrenagem
antes que sua velocidade angular atinja 600 rpm e (b) a força tangencial que a engrenagem
exerce sobre a engrenagem
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes números do enunciado):
- massa da engrenagem
: . - massa da engrenagem
: . - raio de giração de
: . - raio de giração de
: . - torque aplicado à engrenagem
: . - sistema parte do repouso e atinge velocidade de
em .
O enunciado pede:
(a) o número de revoluções executadas pela engrenagem até que sua velocidade angular atinja
;
(b) a força tangencial que a engrenagem exerce sobre a engrenagem
(valor numérico e unidade).
(a) o número de revoluções executadas pela engrenagem
(b) a força tangencial que a engrenagem
Observação importante (assunção indicada): o enunciado fornece os “raios de giração”. Para relacionar o movimento de rolamento entre as duas engrenagens é necessário conhecer os raios de passo (os raios físicos que entram em contato). Aqui adotamos a hipótese padrão em exercícios desse tipo: as engrenagens são anéis finos, de modo que o raio de giração coincide com o raio geométrico do anel (portanto usamos
como o raio
e
como o raio
). Vou explicitar e justificar essa hipótese quando for usada.
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar (explicados de forma didática):
- Raio de giração e momento de inércia:
- O raio de giração
de um corpo é definido de modo que o momento de inércia em torno do eixo seja . - Portanto, se nos é dado o raio de giração e a massa, podemos calcular o momento de inércia direto por
. - No caso de um anel fino de raio
tem-se e . Por isso adotamos e para poder usar as relações de engrenagens.
- Condição de contato sem deslizamento entre engrenagens:
- No ponto de contato, as velocidades tangenciais são iguais em módulo:
. - Logo a relação entre velocidades angulares é
. - A mesma relação vale para deslocamentos angulares:
.
- Energia rotacional e trabalho de torque constante:
- Trabalho realizado pelo torque constante
ao girar de radianos é . - A energia cinética rotacional total das duas engrenagens é
- Como não há atrito, todo o trabalho fornecido pelo torque vai para aumentar
. Assim, partindo do repouso,
- Substituindo
em função de obtemos uma equação que relaciona e .
- Força tangencial entre engrenagens:
- A força tangencial
aplicada por sobre no ponto de contato produz um torque sobre (reação) e um torque sobre . - Equações de movimento rotacional (segunda lei de Newton para rotação) para cada engrenagem:
com
. A partir dessas equações encontra-se
. Outra forma direta é usar a inércia equivalente refletida entre eixos.
Vou aplicar essas ideias passo a passo com os números do problema.
Passo 3
Calcular os momentos de inércia usando
e convertendo unidades.
Para
:
Para
:
Também escrevo a razão de raios (que usarei para relacionar
e
):
Passo 4
Escrever a equação energia-trabalho e reduzi-la a uma relação entre
e
.
Partindo de
substituo
e fatoro
:
Defino a inércia equivalente (vista no eixo
):
Calculo numericamente
:
Assim
Passo 5
Determinar
correspondente a
e calcular
.
Converter
para rad/s:
Calculo
:
Agora calcular a energia
:
Portanto o deslocamento angular de
até esse estado é
Número de revoluções executadas por
:
Arredondando de forma prática (duas casas decimais):
revoluções.
Passo 6
Determinar a força tangencial
entre
e
.
Método (explicação passo a passo):
- Primeiro encontramos a aceleração angular
resultante do torque constante considerando a inércia equivalente: . - Depois usamos uma das equações de equilíbrio rotacional para obter
; por exemplo para a engrenagem : com . Isso dá
Calculo
:
Agora calculo
usando a fórmula acima (ou, de forma alternativa consistente,
; ambas dão o mesmo resultado):
Calculo passo a passo:
logo
Arredondando:
.
Interpretação rápida: essa é a força tangencial constante exercida entre as engrenagens enquanto o torque
é aplicado de forma constante (sem atrito). A força é o resultado da parcela do torque que efetivamente atua na transmissão ao par
depois de acelerar também
.
Resposta
(a)
revoluções (aprox.)
(b)
(b)