A engrenagem A tem massa de 10 kg e raio de giração de 200 mm ; a engrenagem B tem massa de 3 kg e raio de giração de 80 mm . O sistema está em repouso quando um binário M de intensidade 6 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} é aplicado à engrenagem B. Desprezando o atrito, determine (a) o número de revoluções executadas pela engrenagem B antes que sua velocidade angular atinja 600 rpm e (b) a força tangencial que a engrenagem B exerce sobre a engrenagem A.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • massa da engrenagem A: m_A=10\\ \mathrm{kg}.
  • massa da engrenagem B: m_B=3\\ \mathrm{kg}.
  • raio de giração de A: k_A=200\\ \mathrm{mm}=0{,}200\\ \mathrm{m}.
  • raio de giração de B: k_B=80\\ \mathrm{mm}=0{,}080\\ \mathrm{m}.
  • torque aplicado à engrenagem B: M=6\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • sistema parte do repouso e atinge velocidade de 600\\ \mathrm{rpm} em B.
O enunciado pede:
(a) o número de revoluções executadas pela engrenagem B até que sua velocidade angular atinja 600\\ \mathrm{rpm};
(b) a força tangencial que a engrenagem B exerce sobre a engrenagem A (valor numérico e unidade).
Observação importante (assunção indicada): o enunciado fornece os “raios de giração”. Para relacionar o movimento de rolamento entre as duas engrenagens é necessário conhecer os raios de passo (os raios físicos que entram em contato). Aqui adotamos a hipótese padrão em exercícios desse tipo: as engrenagens são anéis finos, de modo que o raio de giração coincide com o raio geométrico do anel (portanto usamos k_A como o raio r_A e k_B como o raio r_B). Vou explicitar e justificar essa hipótese quando for usada.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar (explicados de forma didática):
  1. Raio de giração e momento de inércia:
  • O raio de giração k de um corpo é definido de modo que o momento de inércia em torno do eixo seja I = m k^2.
  • Portanto, se nos é dado o raio de giração e a massa, podemos calcular o momento de inércia direto por I = m k^2.
  • No caso de um anel fino de raio R tem-se k=R e I = mR^2. Por isso adotamos r_A=k_A e r_B=k_B para poder usar as relações de engrenagens.
  1. Condição de contato sem deslizamento entre engrenagens:
  • No ponto de contato, as velocidades tangenciais são iguais em módulo: r_A \omega_A = r_B \omega_B.
  • Logo a relação entre velocidades angulares é \omega_A = \dfrac{r_B}{r_A}\,\omega_B.
  • A mesma relação vale para deslocamentos angulares: \theta_A = \dfrac{r_B}{r_A}\,\theta_B.
  1. Energia rotacional e trabalho de torque constante:
  • Trabalho realizado pelo torque constante M ao girar de \theta_B radianos é W = M\,\theta_B.
  • A energia cinética rotacional total das duas engrenagens é
E_k=\tfrac{1}{2}I_A\omega_A^2+\tfrac{1}{2}I_B\omega_B^2.
  • Como não há atrito, todo o trabalho fornecido pelo torque vai para aumentar E_k. Assim, partindo do repouso,
M\,\theta_B = \tfrac{1}{2}I_A\omega_A^2+\tfrac{1}{2}I_B\omega_B^2.
  • Substituindo \omega_A em função de \omega_B obtemos uma equação que relaciona \theta_B e \omega_B.
  1. Força tangencial entre engrenagens:
  • A força tangencial F_t aplicada por B sobre A no ponto de contato produz um torque F_t r_B sobre B (reação) e um torque F_t r_A sobre A.
  • Equações de movimento rotacional (segunda lei de Newton para rotação) para cada engrenagem:
M - F_t r_B = I_B \alpha_B, \qquad F_t r_A = I_A \alpha_A,
com \alpha_A = \dfrac{r_B}{r_A}\,\alpha_B. A partir dessas equações encontra-se F_t. Outra forma direta é usar a inércia equivalente refletida entre eixos.
Vou aplicar essas ideias passo a passo com os números do problema.

Passo 3

Calcular os momentos de inércia usando I=m k^2 e convertendo unidades.
Para A:
I_A = m_A k_A^2 = 10\cdot(0{,}200)^2 = 10\cdot 0{,}04 = 0{,}4\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Para B:
I_B = m_B k_B^2 = 3\cdot(0{,}080)^2 = 3\cdot 0{,}0064 = 0{,}0192\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Também escrevo a razão de raios (que usarei para relacionar \omega_A e \omega_B):
\frac{r_B}{r_A}=\frac{0{,}080}{0{,}200}=0{,}4.

Passo 4

Escrever a equação energia-trabalho e reduzi-la a uma relação entre \theta_B e \omega_B.
Partindo de
M\,\theta_B=\tfrac{1}{2}I_A\omega_A^2+\tfrac{1}{2}I_B\omega_B^2,
substituo \omega_A=(r_B/r_A)\omega_B e fatoro \omega_B^2:
M\,\theta_B=\tfrac{1}{2}\left(I_A\left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2+I_B\right)\omega_B^2.
Defino a inércia equivalente (vista no eixo B):
I_\text{eq}=I_B+I_A\left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2.
Calculo numericamente I_\text{eq}:
I_A\left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2 = 0{,}4\cdot(0{,}4)^2 = 0{,}4\cdot 0{,}16 = 0{,}064.
I_\text{eq}=0{,}064+0{,}0192=0{,}0832\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Assim
M\,\theta_B=\tfrac{1}{2}I_\text{eq}\,\omega_B^2 \quad\Rightarrow\quad \theta_B=\frac{\tfrac{1}{2}I_\text{eq}\,\omega_B^2}{M}.

Passo 5

Determinar \omega_B correspondente a 600\\ \mathrm{rpm} e calcular \theta_B.
Converter 600\\ \mathrm{rpm} para rad/s:
600\\ \mathrm{rpm} = \frac{600}{60}\\ \mathrm{rev/s}=10\\ \mathrm{rev/s}, \qquad \omega_B = 2\pi\cdot 10 = 20\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Calculo \omega_B^2:
\omega_B^2=(20\pi)^2 = 400\pi^2 \approx 3947{,}84\\ \mathrm{(rad/s)^2}.
Agora calcular a energia \tfrac{1}{2}I_\text{eq}\omega_B^2:
\tfrac{1}{2}I_\text{eq}\omega_B^2 = 0{,}5\cdot 0{,}0832\cdot 3947{,}84 =0{,}0416\cdot 3947{,}84 \approx 164{,}23\\ \mathrm{J}.
Portanto o deslocamento angular de B até esse estado é
\theta_B=\frac{164{,}23}{M}=\frac{164{,}23}{6}\approx 27{,}3717\\ \mathrm{rad}.
Número de revoluções executadas por B:
N_B=\frac{\theta_B}{2\pi}=\frac{27{,}3717}{2\pi}\approx 4{,}355\\ \text{rev}.
Arredondando de forma prática (duas casas decimais): N_B\approx 4{,}36 revoluções.

Passo 6

Determinar a força tangencial F_t entre B e A.
Método (explicação passo a passo):
  • Primeiro encontramos a aceleração angular \alpha_B resultante do torque constante considerando a inércia equivalente: \alpha_B=M/I_\text{eq}.
  • Depois usamos uma das equações de equilíbrio rotacional para obter F_t; por exemplo para a engrenagem A: F_t r_A = I_A \alpha_A com \alpha_A=(r_B/r_A)\alpha_B. Isso dá
F_t = \frac{I_A\,\alpha_A}{r_A} = \frac{I_A\,(r_B/r_A)\,\alpha_B}{r_A} = \frac{I_A r_B}{r_A^2}\,\alpha_B.
Calculo \alpha_B:
\alpha_B=\frac{M}{I_\text{eq}}=\frac{6}{0{,}0832}\approx 72{,}1154\\ \mathrm{rad/s^2}.
Agora calculo F_t usando a fórmula acima (ou, de forma alternativa consistente, F_t=(M - I_B\alpha_B)/r_B; ambas dão o mesmo resultado):
F_t=\frac{I_A r_B}{r_A^2}\,\alpha_B = \frac{0{,}4\cdot 0{,}080}{(0{,}200)^2}\cdot 72{,}1154.
Calculo passo a passo:
\frac{0{,}4\cdot 0{,}080}{0{,}040} = \frac{0{,}032}{0{,}040}=0{,}8,
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F_t=0{,}8\cdot 72{,}1154 \approx 57{,}6923\\ \mathrm{N}.
Arredondando: F_t\approx 57{,}7\\ \mathrm{N}.
Interpretação rápida: essa é a força tangencial constante exercida entre as engrenagens enquanto o torque M é aplicado de forma constante (sem atrito). A força é o resultado da parcela do torque que efetivamente atua na transmissão ao par A depois de acelerar também B.

Resposta

(a) 4{,}36 revoluções (aprox.)
(b) 57{,}7\\ \mathrm{N}

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