Enquanto assistem a um concerto de rock, as pessoas podem sofrer danos auditivos. Na primeira fila de poltronas a partir do palco, a intensidade sonora é de 145 dB . A que distância do palco você deveria se posicionar a fim de que a intensidade sonora caísse abaixo do nível recomendado de 90 dB ?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (sem assumir nada além do que está escrito):
  • Dado: o nível sonoro na primeira fila é L_1 = 145\\ \text{dB}.
  • Pede-se: a que distância do palco deve-se ficar para que o nível sonoro caia para L_2 = 90\\ \text{dB}.
  • Informação não fornecida explicitamente: a distância da primeira fila ao palco. Vou chamar essa distância de r_1. A distância que queremos determinar será chamada de r_2.
    Observação: o enunciado não dá um valor numérico para r_1, então a resposta será uma relação entre r_2 e r_1 (quantas vezes mais longe que a primeira fila).

Passo 2

Entendendo o que é decibel e como níveis sonoros se relacionam com intensidade:
  • O nível sonoro L em decibéis está definido por
L = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right),
onde I é a intensidade sonora (em \text{W/m}^2) e I_0 é a intensidade de referência (usualmente I_0=10^{-12}\\ \text{W/m}^2).
  • Aqui o que interessa é a relação entre dois níveis: a diferença de nível \Delta L = L_2-L_1 está ligada à razão entre as intensidades I_2 e I_1 por
\Delta L = 10\log_{10}\!\left(\frac{I_2}{I_1}\right).
Esta fórmula vem diretamente subtraindo duas expressões da forma 10\log_{10}(I/I_0).

Passo 3

Explicando a lei da propagação da intensidade (o que usamos para transformar razão de intensidades em razão de distâncias):
  • Para uma fonte sonora que pode ser aproximada como pontual em espaço livre, a intensidade média a uma distância r da fonte cai proporcionalmente a 1/r^2. Em símbolos:
I \propto \frac{1}{r^2}.
  • Isso significa que, entre dois pontos a distâncias r_1 e r_2,
\frac{I_2}{I_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2.
Observação importante (assunção): essa relação assume que não há reflexões ou absorção significativas (campo livre) e que a fonte pode ser tratada como pontual — é a aproximação padrão em exercícios como este.

Passo 4

Relacionando a diferença de níveis com as distâncias usando as fórmulas anteriores:
  • Substituindo \dfrac{I_2}{I_1}=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2 em \Delta L = 10\log_{10}\!\left(\dfrac{I_2}{I_1}\right) obtemos
L_2-L_1 = 10\log_{10}\!\left(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\right).
  • Usando a propriedade do logaritmo \log_{10}(a^2)=2\log_{10}(a), simplificamos para
L_2-L_1 = 20\log_{10}\!\left(\frac{r_1}{r_2}\right).

Passo 5

Isolando r_2 em função de r_1 e das diferenças de nível:
  • Da equação anterior,
\log_{10}\!\left(\frac{r_1}{r_2}\right) = \frac{L_2-L_1}{20}.
  • Invertendo a fração dentro do logaritmo e passando para potência de base 10,
\frac{r_2}{r_1} = 10^{\frac{L_1-L_2}{20}},
ou seja
r_2 = r_1 \cdot 10^{\frac{L_1-L_2}{20}}.

Passo 6

Aplicando os números dados ( L_1=145\\ \text{dB} e L_2=90\\ \text{dB}):
  • Calcule o expoente:
\frac{L_1-L_2}{20}=\frac{145-90}{20}=\frac{55}{20}=2{,}75.
  • Portanto
r_2 = r_1 \cdot 10^{2{,}75}.
  • Avaliando numericamente 10^{2{,}75}:
10^{2{,}75}=10^{2}\cdot10^{0{,}75}\approx 100\cdot5{,}6234\approx 562{,}34.
Logo
r_2 \approx 562{,}34\;r_1.

Passo 7

Interpretação e observações práticas (motivação e empatia):
  • Resultado prático: para reduzir o nível de 145\\ \text{dB} para 90\\ \text{dB} com a aproximação usada, é necessário estar cerca de 562 vezes mais longe que a primeira fila.
  • Isso mostra como níveis muito altos em dB exigem aumentos enormes na distância para reduzir o ruído; faz sentido você ter achado que a queda parecia “impossível” — os decibéis são logarítmicos e pequenas diferenças em dB representam grandes razões de intensidade.
  • Lembrete: se for preciso um valor em metros, é necessário saber o valor de r_1 (distância da primeira fila ao palco). Substitua esse r_1 na expressão acima para obter r_2 em metros.

Resposta

\displaystyle r_2 = r_1\cdot 10^{\frac{145-90}{20}} \approx 5{,}62\times 10^{2}\,r_1

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