Enquanto assistem a um concerto de rock, as pessoas podem sofrer danos auditivos. Na primeira fila de poltronas a partir do palco, a intensidade sonora é de 145 dB . A que distância do palco você deveria se posicionar a fim de que a intensidade sonora caísse abaixo do nível recomendado de 90 dB ?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (sem assumir nada além do que está escrito):
- Dado: o nível sonoro na primeira fila é
. - Pede-se: a que distância do palco deve-se ficar para que o nível sonoro caia para
. - Informação não fornecida explicitamente: a distância da primeira fila ao palco. Vou chamar essa distância de
. A distância que queremos determinar será chamada de .
Observação: o enunciado não dá um valor numérico para, então a resposta será uma relação entre e (quantas vezes mais longe que a primeira fila).
Passo 2
Entendendo o que é decibel e como níveis sonoros se relacionam com intensidade:
- O nível sonoro
em decibéis está definido por
onde
é a intensidade sonora (em
) e
é a intensidade de referência (usualmente
).
- Aqui o que interessa é a relação entre dois níveis: a diferença de nível
está ligada à razão entre as intensidades e por
Esta fórmula vem diretamente subtraindo duas expressões da forma
.
Passo 3
Explicando a lei da propagação da intensidade (o que usamos para transformar razão de intensidades em razão de distâncias):
- Para uma fonte sonora que pode ser aproximada como pontual em espaço livre, a intensidade média a uma distância
da fonte cai proporcionalmente a . Em símbolos:
- Isso significa que, entre dois pontos a distâncias
e ,
Observação importante (assunção): essa relação assume que não há reflexões ou absorção significativas (campo livre) e que a fonte pode ser tratada como pontual — é a aproximação padrão em exercícios como este.
Passo 4
Relacionando a diferença de níveis com as distâncias usando as fórmulas anteriores:
- Substituindo
em obtemos
- Usando a propriedade do logaritmo
, simplificamos para
Passo 5
Isolando
em função de
e das diferenças de nível:
- Da equação anterior,
- Invertendo a fração dentro do logaritmo e passando para potência de base
,
ou seja
Passo 6
Aplicando os números dados (
e
):
- Calcule o expoente:
- Portanto
- Avaliando numericamente
:
Logo
Passo 7
Interpretação e observações práticas (motivação e empatia):
- Resultado prático: para reduzir o nível de
para com a aproximação usada, é necessário estar cerca de vezes mais longe que a primeira fila. - Isso mostra como níveis muito altos em dB exigem aumentos enormes na distância para reduzir o ruído; faz sentido você ter achado que a queda parecia “impossível” — os decibéis são logarítmicos e pequenas diferenças em dB representam grandes razões de intensidade.
- Lembrete: se for preciso um valor em metros, é necessário saber o valor de
(distância da primeira fila ao palco). Substitua esse na expressão acima para obter em metros.