para o equilibrio de fases e propriedades parciais, complete a sequencia de equações: (2p)
Passo 1
O enunciado pede para completar uma sequência de equações relacionadas à variação de uma propriedade molar
numa mistura. Vou listar o que temos e as variáveis envolvidas (tudo foi extraído do enunciado):
-
é o número total de mols da mistura. -
é o número de mols do componente . -
é a fração molar do componente , ou seja . -
é uma propriedade molar intensiva da mistura (por ex.: , , — aqui apenas chamamos de ). -
é a propriedade molar parcial do componente , definida por . - O enunciado traz as seguintes relações (algumas completas, outras faltando): expressões para
, expressão para , a regra do produto e uma combinação final que envolve , , , , , .
A tarefa é completar a sequência lógica das equações que levam à última linha mostrada. Não vou resolver nada ainda — só organizei os dados e o que se pede.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever a diferenciação total de
quando o conjunto natural de variáveis é
. Pela regra da diferencial total, se uma função
depende de variáveis independentes
, então
Aplicando isso a
com variáveis
, obtemos a forma geral da diferencial:
Passo 3
Agora interpretamos cada termo da linha anterior em termos de
e das propriedades parciais:
- Para variação com
mantendo e as quantidades fixas, a dependência de em vem só de . Se a composição (frações molares) é mantida, escreve-se a derivada como
Explicação rápida: com
fixos,
é fixo e a mudança de
por
é a mesma para cada mol, então multiplica-se por
.
- Análogo para
:
- Pela definição do elemento parcial molar,
Substituindo essas três identidades na expressão do Passo 2 resulta na linha conhecida:
Passo 4
Mostramos a relação entre variações de
,
e
. Partindo de
, diferenciando ambos os lados obtemos (use produto/quotient rule):
Multiplicando por
e isolando
resulta
Essa expressão é útil porque liga variação das quantidades
com variação total
e variação de composição
.
Passo 5
Também usamos a regra do produto para
vista como produto de
(extensiva) e
(intensiva):
Passo 6
Agora combinamos tudo. Partimos da expressão encontrada no Passo 3:
Substituímos
(Passo 4) no somatório:
Logo a expressão completa fica
Igualando essa expressão com a expressão alternativa
(Passo 5) e reagrupando termos em
e
obtemos, após passar termos para um lado, a forma:
Essa é exatamente a relação final que aparece no enunciado; ela mostra duas coisas dependendo das condições (por exemplo, se
ou se
varia), e daí derivam relações úteis como
e o teorema de Gibbs–Duhem para propriedades molares.