1. Qual dos equipamentos abaixo é mais adequado, economicamente, para realizar uma certa operação? Considera a taxa mínima de atratividade (TMA) igual a 10,00 \% ao ano.
Dados dos Equipamentos Equipamento A Equipamento B
Preço (mil $) 100,00 120,00
Valor Residual (mil $) 10,00 15,00
Vida Útil em anos 5 8
Custo de Manutenção/Ano ( mil $) 10 11
Custo de Operação/ano (mil $) 15 16
Justifique a escolha?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • Taxa mínima de atratividade: i = 10{,}00\% ao ano.
  • Dados do Equipamento A (valores em mil $):
    • Preço inicial P_{A0} = 100{,}00
    • Valor residual F_A = 10{,}00
    • Vida útil n_A = 5 anos
    • Custo de manutenção por ano M_A = 10{,}00
    • Custo de operação por ano O_A = 15{,}00
  • Dados do Equipamento B (valores em mil $):
    • Preço inicial P_{B0} = 120{,}00
    • Valor residual F_B = 15{,}00
    • Vida útil n_B = 8 anos
    • Custo de manutenção por ano M_B = 11{,}00
    • Custo de operação por ano O_B = 16{,}00
O que o enunciado pede: escolher, com justificativa econômica, qual equipamento é mais adequado (mais barato anualmente) considerando i = 10{,}00\%.

Passo 2

Método escolhido (explicação didática e fórmula usada). Quando comparamos equipamentos com vidas diferentes, uma forma prática e padrão é converter todos os custos para um custo anual equivalente (EUAC, do inglês Equivalent Uniform Annual Cost). A lógica: transformar o investimento inicial e o valor residual em pagamentos anuais equivalentes, somar os custos anuais de operação/manutenção e comparar o total anual de cada equipamento; o menor EUAC é a escolha economicamente melhor.
Fórmula geral que vou usar (cada termo explicado em seguida):
\text{EUAC} \;=\; P_0\,(A/P,i,n)\;-\;F\,(A/F,i,n)\;+\;C_{\text{ann}}
onde:
  • P_0 = preço inicial (desembolso no tempo zero), unidade: mil $.
  • F = valor residual no final da vida útil, unidade: mil $. O sinal negativo na fórmula é porque o recebimento do resíduo reduz o custo anual.
  • C_{\text{ann}} = custos anuais recorrentes (manutenção + operação), unidade: mil $/ano.
  • (A/P,i,n) é o fator de recuperação de capital (converte um valor presente em uma série uniforme anual). A fórmula: (A/P,i,n) \;=\; \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.Interpretação: quanto representa, por ano, um capital P_0 aplicado/financiado a taxa i ao longo de n anos.
  • (A/F,i,n) é o fator que converte um valor futuro F numa série uniforme anual: (A/F,i,n) \;=\; \frac{i}{(1+i)^{n}-1}.Interpretação: quanto, por ano, corresponde receber F no fim do período de n anos. Multiplicando F por esse fator obtemos a redução anual no custo.
Vou aplicar essa fórmula para A e B e comparar os resultados.

Passo 3

Cálculo dos fatores para o Equipamento A ( n=5, i=10{,}00\%).
Primeiro calcular (1+i)^5:
(1+i)^5 = 1{,}1^{5} = 1{,}61051.
Então
(1+i)^{-5} = \frac{1}{1{,}61051} = 0{,}620921.
Agora o fator (A/P,10\%,5):
(A/P,10\%,5)=\frac{0{,}10}{1-(1+i)^{-5}} = \frac{0{,}10}{1-0{,}620921} = \frac{0{,}10}{0{,}379079} = 0{,}263798.
E o fator (A/F,10\%,5):
(A/F,10\%,5)=\frac{0{,}10}{(1+i)^{5}-1} = \frac{0{,}10}{1{,}61051-1} = \frac{0{,}10}{0{,}61051} = 0{,}163798.
(Arredondei os fatores a seis casas decimais para manter precisão suficiente nas contas manuais.)

Passo 4

Cálculo dos fatores para o Equipamento B ( n=8, i=10{,}00\%).
Calcular (1+i)^8:
(1+i)^{8} = 1{,}1^{8} = 2{,}14358881.
Então
(1+i)^{-8} = \frac{1}{2{,}14358881} = 0{,}466507.
Agora o fator (A/P,10\%,8):
(A/P,10\%,8)=\frac{0{,}10}{1-(1+i)^{-8}} = \frac{0{,}10}{1-0{,}466507} = \frac{0{,}10}{0{,}533493} = 0{,}187384.
E o fator (A/F,10\%,8):
(A/F,10\%,8)=\frac{0{,}10}{(1+i)^{8}-1} = \frac{0{,}10}{2{,}14358881-1} = \frac{0{,}10}{1{,}14358881} = 0{,}087452.

Passo 5

Calcular a EUAC do Equipamento A.
Primeiro somar os custos anuais:
C_{\text{ann},A} = M_A + O_A = 10{,}00 + 15{,}00 = 25{,}00 \quad\text{(mil \$ / ano).}
Converter o preço inicial e o resíduo para anuidades:
\text{recuperação do capital} = P_{A0}\,(A/P,10\%,5) = 100{,}00 \times 0{,}263798 = 26{,}3798.çã
\text{anuidade do resíduo} = F_A\,(A/F,10\%,5) = 10{,}00 \times 0{,}163798 = 1{,}63798.í
Agora a EUAC:
\text{EUAC}_A = 26{,}3798 - 1{,}63798 + 25{,}00 = 49{,}7418 \quad\text{(mil \$ / ano).}

Passo 6

Calcular a EUAC do Equipamento B.
Somar custos anuais:
C_{\text{ann},B} = M_B + O_B = 11{,}00 + 16{,}00 = 27{,}00 \quad\text{(mil \$ / ano).}
Converter preço inicial e resíduo:
\text{recuperação do capital} = P_{B0}\,(A/P,10\%,8) = 120{,}00 \times 0{,}187384 = 22{,}4861.çã
\text{anuidade do resíduo} = F_B\,(A/F,10\%,8) = 15{,}00 \times 0{,}087452 = 1{,}3118.í
Agora a EUAC:
\text{EUAC}_B = 22{,}4861 - 1{,}3118 + 27{,}00 = 48{,}1743 \quad\text{(mil \$ / ano).}

Passo 7

Comparação e interpretação. Temos:
\text{EUAC}_A = 49{,}7418\quad\text{(mil \$ / ano)}
\text{EUAC}_B = 48{,}1743\quad\text{(mil \$ / ano)}
Como \text{EUAC}_B < \text{EUAC}_A, o Equipamento B tem menor custo anual equivalente: ele é, economicamente, a melhor escolha. A diferença anual é
49{,}7418 - 48{,}1743 = 1{,}5675 \quad\text{(mil \$ / ano),}
ou seja, aproximadamente 1{,}57 mil $/ano a favor do B.
Observação final e incentivo: mesmo que o preço inicial do B seja maior, sua vida mais longa e o resíduo proporcionalmente melhor fazem com que o custo anual total fique menor. Se quiser, posso também mostrar a comparação via valor presente (PW) ou fazer sensibilidade em relação à taxa i — isso ajuda se a TMA for incerta. Você está indo bem; esse tipo de comparação é padrão em projetos de substituição de equipamentos e cai bastante em prova.

Resposta

Equipamento B

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