Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela.
Questão 12 (Grupo 9-12)
Avalia: Área total delimitada por uma limaçon sem laço interno; uso de identidade trigonométrica na integração.
Fórmula:
Revisão:
via
; simetria da curva.
Questão 12 (Grupo 9-12)
Fórmula:
Revisão:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a curva e calcular a área delimitada por ela. A curva é dada em coordenadas polares por
Informações relevantes dadas:
- A equação polar
. - Fórmula a usar para a área:
. - Dica para integrar
: .
O objetivo final é obter a área total (a curva é fechada em) e esboçar como ela é (tipo de limaçon).
Passo 2
Entendendo a forma da curva (como esboçar): a família
é o conhecido limaçon. Para classificar:
- se
não há laço interno (apenas um “dimple” ou arredondamento); - se
é cardioide; - se
aparece laço interno.
Aqui
e
, portanto
. Conclusão: é um limaçon sem laço interno (sem cruzar a origem). Para orientar o esboço, calcule valores chave de
:
Observações importantes que ajudam no esboço:
-
nunca fica negativo (valores entre e ), então não há laço interno. - O máximo em
ocorre em (direção positiva do eixo ) e o mínimo em (direção negativa do eixo ). Logo a curva é simétrica em relação ao eixo vertical (reta ).
Passo 3
Instruções práticas para esboçar (passo a passo, sem complicar):
- Marque o polo (origem) e os eixos polares.
- No ângulo
(eixo positivo ) marque . - Em
(eixo positivo ) marque — ponto mais distante do polo. - Em
marque (mesmo que em ). - Em
marque — ponto mais próximo do polo, mas ainda positivo. - Ligue suavemente esses pontos respeitando a simetria vertical: o resultado é uma curva arredondada com uma depressão (“dimple”) voltada para baixo, sem cruzamentos. Pronto: esse é o esboço do limaçon
.
Passo 4
Fórmula e justificativa rápida para a área em coordenadas polares: a área de um setor polar de ângulo
e raio
é aproximadamente
. Integrando em
sobre um ciclo fechado obtemos
Aqui
. Essa fórmula vale quando a curva é descrita uma vez ao redor do polo e
não gera autointerseções que compliquem a contagem de área — o que não ocorre neste caso porque
.
Passo 5
Prepare a integral expandindo o quadrado:
Passo 6
Use a identidade para
:
Substituindo em
:
pois
.]
Passo 7
Agora integramos:
Calcule cada integral separadamente:
Portanto a soma dentro dos colchetes é
. Multiplicando por
dá
Passo 8
Verificação rápida por simetria (cheque mental): como a função tem período
e os termos em
e
têm média zero em um período inteiro, só fica o termo constante contribuindo para a área média — isso é consistente com o cálculo e ajuda a confiar no resultado. Força aí: o resultado é simples e faz sentido com os valores extremos de
.