Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela.
Questão 12 (Grupo 9-12)
r=4+3 \operatorname{sen} \theta
Avalia: Área total delimitada por uma limaçon sem laço interno; uso de identidade trigonométrica na integração.
Fórmula: A=\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} r^{2} d \theta
Revisão: \int \operatorname{sen}^{2} \theta d \theta via \operatorname{sen}^{2} \theta=\frac{1-\cos 2 \theta}{2}; simetria da curva.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a curva e calcular a área delimitada por ela. A curva é dada em coordenadas polares por
r=4+3\sin\theta.
Informações relevantes dadas:
  • A equação polar r=4+3\sin\theta.
  • Fórmula a usar para a área: \displaystyle A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} r^{2}\,d\theta.
  • Dica para integrar \sin^{2}\theta: \displaystyle \sin^{2}\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}.
    O objetivo final é obter a área total (a curva é fechada em [0,2\pi]) e esboçar como ela é (tipo de limaçon).

Passo 2

Entendendo a forma da curva (como esboçar): a família r=a+b\sin\theta é o conhecido limaçon. Para classificar:
  • se \dfrac{a}{b}>1 não há laço interno (apenas um “dimple” ou arredondamento);
  • se \dfrac{a}{b}=1 é cardioide;
  • se \dfrac{a}{b}<1 aparece laço interno.
Aqui a=4 e b=3, portanto \dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{3}>1. Conclusão: é um limaçon sem laço interno (sem cruzar a origem). Para orientar o esboço, calcule valores chave de r:
\begin{aligned} \theta=0 &\Rightarrow r=4+3\sin 0 = 4,\\\ \theta=\tfrac{\pi}{2} &\Rightarrow r=4+3\sin\tfrac{\pi}{2}=4+3=7\quad(\text{máximo}),\\\ \theta=\pi &\Rightarrow r=4+3\sin\pi=4,\\\ \theta=\tfrac{3\pi}{2} &\Rightarrow r=4+3\sin\tfrac{3\pi}{2}=4-3=1\quad(\text{mínimo}),\\\ \theta=2\pi &\Rightarrow r=4. \end{aligned}áí
Observações importantes que ajudam no esboço:
  • r nunca fica negativo (valores entre 1 e 7), então não há laço interno.
  • O máximo em r ocorre em \theta=\tfrac{\pi}{2} (direção positiva do eixo y) e o mínimo em \theta=\tfrac{3\pi}{2} (direção negativa do eixo y). Logo a curva é simétrica em relação ao eixo vertical (reta \theta=\tfrac{\pi}{2}).

Passo 3

Instruções práticas para esboçar (passo a passo, sem complicar):
  1. Marque o polo (origem) e os eixos polares.
  2. No ângulo \theta=0 (eixo positivo x) marque r=4.
  3. Em \theta=\tfrac{\pi}{2} (eixo positivo y) marque r=7 — ponto mais distante do polo.
  4. Em \theta=\pi marque r=4 (mesmo que em \theta=0).
  5. Em \theta=\tfrac{3\pi}{2} marque r=1 — ponto mais próximo do polo, mas ainda positivo.
  6. Ligue suavemente esses pontos respeitando a simetria vertical: o resultado é uma curva arredondada com uma depressão (“dimple”) voltada para baixo, sem cruzamentos. Pronto: esse é o esboço do limaçon r=4+3\sin\theta.

Passo 4

Fórmula e justificativa rápida para a área em coordenadas polares: a área de um setor polar de ângulo d\theta e raio r é aproximadamente \tfrac{1}{2}r^{2}d\theta. Integrando em \theta sobre um ciclo fechado obtemos
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} r(\theta)^{2}\,d\theta.
Aqui r(\theta)=4+3\sin\theta. Essa fórmula vale quando a curva é descrita uma vez ao redor do polo e r(\theta) não gera autointerseções que compliquem a contagem de área — o que não ocorre neste caso porque r\ge 1>0.

Passo 5

Prepare a integral expandindo o quadrado:
r^{2}=(4+3\sin\theta)^{2}=16+24\sin\theta+9\sin^{2}\theta.

Passo 6

Use a identidade para \sin^{2}\theta:
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}.
Substituindo em r^{2}:
\begin{aligned} r^{2}&=16+24\sin\theta+9\cdot\frac{1-\cos 2\theta}{2}\\[4pt] &=16+24\sin\theta+\frac{9}{2}-\frac{9}{2}\cos 2\theta\\[4pt] &=\frac{41}{2}+24\sin\theta-\frac{9}{2}\cos 2\theta, \end{aligned}
pois 16+\tfrac{9}{2}=\tfrac{32}{2}+\tfrac{9}{2}=\tfrac{41}{2}.]

Passo 7

Agora integramos:
\begin{aligned} A&=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} r^{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{41}{2}+24\sin\theta-\frac{9}{2}\cos 2\theta\right)d\theta\\[6pt] &=\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{2\pi}\frac{41}{2}\,d\theta+\int_{0}^{2\pi}24\sin\theta\,d\theta-\int_{0}^{2\pi}\frac{9}{2}\cos 2\theta\,d\theta\right]. \end{aligned}
Calcule cada integral separadamente:
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\frac{41}{2}\,d\theta=\frac{41}{2}\cdot 2\pi=41\pi.
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}24\sin\theta\,d\theta=24\big[-\cos\theta\big]_{0}^{2\pi}=24(-\cos 2\pi+\cos 0)=24(-1+1)=0.
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\frac{9}{2}\cos 2\theta\,d\theta=\frac{9}{2}\left[\frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{9}{4}(\sin 4\pi-\sin 0)=0.
Portanto a soma dentro dos colchetes é 41\pi+0-0=41\pi. Multiplicando por \tfrac{1}{2}
A=\frac{1}{2}\cdot 41\pi=\frac{41\pi}{2}.]

Passo 8

Verificação rápida por simetria (cheque mental): como a função tem período 2\pi e os termos em \sin\theta e \cos 2\theta têm média zero em um período inteiro, só fica o termo constante contribuindo para a área média — isso é consistente com o cálculo e ajuda a confiar no resultado. Força aí: o resultado é simples e faz sentido com os valores extremos de r.

Resposta

\dfrac{41\pi}{2}

Exercícios relacionados