Esboce a curva dada em coordenadas polares por:
e calcule a área de um dos seus loops.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Esboçar a curva dada em coordenadas polares pela equação
. - Calcular a área de um dos seus loops (ou pétalas).
Informações dadas:
- A equação polar é
. - A função trigonométrica envolvida é
, cujo argumento multiplica por .
Passo 2
Entender como a curva se comporta (o que significa desenhar
) — conceitos importantes e como usá-los.
- Em coordenadas polares, um ponto é dado por
. Se , o ponto fica na direção de ângulo a uma distância da origem. Se , o ponto fica na direção com distância (ou seja, é como “virar” 180 graus). - Zeros de
(ou seja, valores de com ) são pontos na origem; entre dois zeros consecutivos que façam positivo, a curva geralmente descreve um loop (pétala). - Valores máximos de
dão a ponta da pétala. Aqui o máximo de é , então o raio máximo é .
Essas observações já bastam para planejar um esboço: vamos achar zeros, intervalos onde
, e posições das pontas.
Passo 3
Encontrar os zeros e os intervalos que descrevem uma pétala.
- Zeros ocorrem quando
. Isso vale quando com . Portanto
- Assim os zeros estão em
. Entre dois zeros consecutivos e a função tem sinal constante (positiva em alguns intervalos, negativa em outros). - Uma pétala corresponde a um intervalo onde
(assim ) entre dois zeros consecutivos. Tomando o primeiro intervalo positivo, temos
Nesse intervalo a curva vai da origem (
), cresce até a ponta e volta à origem em
.
- A ponta (máximo) ocorre onde
, isto é quando . Um desses valores é
para o primeiro lóbulo; aí
. As outras pontas estão em
Passo 4
Instruções práticas para esboçar a curva (passo a passo visual, sem calculadora):
- Marque no plano polar as direções
. Nessas direções as pontas das pétalas estarão a distância da origem. - Marque os ângulos onde
: . Nos trechos entre dois desses ângulos, desenhe um arco saindo da origem, abrindo até a ponta e voltando à origem. - Como
é ímpar, a curva tem pétalas igualmente espaçadas ao redor da origem. Cada pétala está centrada em e tem comprimento máximo . - Observação intuitiva: para
em a função é negativa, o que corresponderia a pontos com — esses pontos são plotados no sentido oposto, e acabam redesenhando as mesmas pétalas já desenhadas nos intervalos positivos; por isso a curva total apresenta apenas pétalas distintas.
(Se estivesse desenhando no papel: trace os três eixos diretos correspondentes às pontas marcadas e esboce cada pétala como uma forma suave simétrica em torno de sua direção central.)
Passo 5
Configurar a integral para a área de um loop (fórmula e justificativa).
- Fórmula para área em coordenadas polares: a área
de uma região descrita por entre e é
Explicação rápida: divide-se a região em fatias angulares pequenas de espessura
; cada fatia tem área aproximada
. Soma (integração) dá a fórmula acima.
-
Para um dos loops tomamos o intervalo onde a pétala está sendo traçada sem mudar de sinal: escolhemos
. Nesse intervalo e a pétala é desenhada uma única vez. -
Substituímos
na fórmula:
Passo 6
Calcular a integral passo a passo (sem pular contas).
- Primeiro simplificar o integrando:
Assim
- Usar a identidade trigonométrica para
: para qualquer ,
Aplicando com
,
- Substituindo na integral:
- Integrar termo a termo:
Portanto
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida de coerência (para dar confiança).
- Obtivemos
. - Checagem grosseira: a área total das pétalas distintas é
vezes essa área, ou seja . Note que se integrássemos em obteríamos o dobro disso porque as partes com retratam petals já desenhadas, fazendo com que a integral completa conte cada pétala duas vezes; isso é um detalhe técnico mas confirma que o valor por pétala é consistente.