Esboce a curva dada em coordenadas polares por:
r=2 \sin (3 \theta)
e calcule a área de um dos seus loops.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Esboçar a curva dada em coordenadas polares pela equação \displaystyle r=2\sin(3\theta).
  • Calcular a área de um dos seus loops (ou pétalas).
Informações dadas:
  • A equação polar é \displaystyle r=2\sin(3\theta).
  • A função trigonométrica envolvida é \sin(3\theta), cujo argumento multiplica \theta por 3.

Passo 2

Entender como a curva se comporta (o que significa desenhar r=2\sin(3\theta)) — conceitos importantes e como usá-los.
  • Em coordenadas polares, um ponto é dado por \bigl(r,\theta\bigr). Se r\ge 0, o ponto fica na direção de ângulo \theta a uma distância r da origem. Se r<0, o ponto fica na direção \theta+\pi com distância |r| (ou seja, é como “virar” 180 graus).
  • Zeros de r (ou seja, valores de \theta com r=0) são pontos na origem; entre dois zeros consecutivos que façam r positivo, a curva geralmente descreve um loop (pétala).
  • Valores máximos de r dão a ponta da pétala. Aqui o máximo de \sin(3\theta) é 1, então o raio máximo é \displaystyle r_{\max}=2.
Essas observações já bastam para planejar um esboço: vamos achar zeros, intervalos onde r\ge0, e posições das pontas.

Passo 3

Encontrar os zeros e os intervalos que descrevem uma pétala.
  • Zeros ocorrem quando \displaystyle \sin(3\theta)=0. Isso vale quando 3\theta=k\pi com k\in\mathbb{Z}. Portanto
3\theta=k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta=\frac{k\pi}{3}.
  • Assim os zeros estão em \displaystyle \theta=0,\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{3}=\pi,\ldots. Entre dois zeros consecutivos \theta=\dfrac{k\pi}{3} e \theta=\dfrac{(k+1)\pi}{3} a função \sin(3\theta) tem sinal constante (positiva em alguns intervalos, negativa em outros).
  • Uma pétala corresponde a um intervalo onde \sin(3\theta)\ge 0 (assim r\ge0) entre dois zeros consecutivos. Tomando o primeiro intervalo positivo, temos
0\le 3\theta\le\pi \quad\Rightarrow\quad 0\le\theta\le\frac{\pi}{3}.
Nesse intervalo a curva vai da origem ( \theta=0), cresce até a ponta e volta à origem em \theta=\dfrac{\pi}{3}.
  • A ponta (máximo) ocorre onde \sin(3\theta)=1, isto é quando 3\theta=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k. Um desses valores é
\theta=\frac{\pi}{6},
para o primeiro lóbulo; aí r=2. As outras pontas estão em
\theta=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}k,\qquad k=0,1,2.

Passo 4

Instruções práticas para esboçar a curva (passo a passo visual, sem calculadora):
  • Marque no plano polar as direções \theta=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{4\pi}{3}. Nessas direções as pontas das pétalas estarão a distância 2 da origem.
  • Marque os ângulos onde r=0: \theta=\dfrac{k\pi}{3}. Nos trechos entre dois desses ângulos, desenhe um arco saindo da origem, abrindo até a ponta e voltando à origem.
  • Como n=3 é ímpar, a curva tem 3 pétalas igualmente espaçadas ao redor da origem. Cada pétala está centrada em \theta=\dfrac{\pi}{6}+ \dfrac{2\pi}{3}k e tem comprimento máximo 2.
  • Observação intuitiva: para \theta em \bigl(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3}\bigr) a função \sin(3\theta) é negativa, o que corresponderia a pontos com r<0 — esses pontos são plotados no sentido oposto, e acabam redesenhando as mesmas pétalas já desenhadas nos intervalos positivos; por isso a curva total apresenta apenas 3 pétalas distintas.
(Se estivesse desenhando no papel: trace os três eixos diretos correspondentes às pontas marcadas e esboce cada pétala como uma forma suave simétrica em torno de sua direção central.)

Passo 5

Configurar a integral para a área de um loop (fórmula e justificativa).
  • Fórmula para área em coordenadas polares: a área A de uma região descrita por r(\theta) entre \theta=\alpha e \theta=\beta é
A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^2\,d\theta.
Explicação rápida: divide-se a região em fatias angulares pequenas de espessura d\theta; cada fatia tem área aproximada \tfrac{1}{2}r^2 d\theta. Soma (integração) dá a fórmula acima.
  • Para um dos loops tomamos o intervalo onde a pétala está sendo traçada sem mudar de sinal: escolhemos \displaystyle \theta\in\Bigl[0,\frac{\pi}{3}\Bigr]. Nesse intervalo r\ge0 e a pétala é desenhada uma única vez.
  • Substituímos \displaystyle r(\theta)=2\sin(3\theta) na fórmula:
A_{\text{pétala}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3} \bigl(2\sin(3\theta)\bigr)^2 d\theta.é

Passo 6

Calcular a integral passo a passo (sem pular contas).
  • Primeiro simplificar o integrando:
\bigl(2\sin(3\theta)\bigr)^2 = 4\sin^2(3\theta).
Assim
A_{\text{pétala}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3} 4\sin^2(3\theta)\,d\theta = 2\int_{0}^{\pi/3}\sin^2(3\theta)\,d\theta.é
  • Usar a identidade trigonométrica para \sin^2: para qualquer u,
\sin^2 u = \frac{1-\cos(2u)}{2}.
Aplicando com u=3\theta,
\sin^2(3\theta)=\frac{1-\cos(6\theta)}{2}.
  • Substituindo na integral:
A_{\text{pétala}}=2\int_{0}^{\pi/3}\frac{1-\cos(6\theta)}{2}\,d\theta = \int_{0}^{\pi/3}\bigl(1-\cos(6\theta)\bigr)\,d\theta.é
  • Integrar termo a termo:
\int_{0}^{\pi/3}1\,d\theta = \left[\theta\right]_{0}^{\pi/3}=\frac{\pi}{3}.
\int_{0}^{\pi/3}\cos(6\theta)\,d\theta = \left[\frac{\sin(6\theta)}{6}\right]_{0}^{\pi/3} = \frac{\sin\!\bigl(6\cdot \tfrac{\pi}{3}\bigr)-\sin(0)}{6} = \frac{\sin(2\pi)-0}{6}=0.
Portanto
A_{\text{pétala}}=\frac{\pi}{3}-0=\frac{\pi}{3}.é

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida de coerência (para dar confiança).
  • Obtivemos \displaystyle A_{\text{pétala}}=\dfrac{\pi}{3}é.
  • Checagem grosseira: a área total das pétalas distintas é 3 vezes essa área, ou seja \displaystyle 3\cdot\frac{\pi}{3}=\pi. Note que se integrássemos r^2 em [0,2\pi] obteríamos o dobro disso porque as partes com r<0 retratam petals já desenhadas, fazendo com que a integral completa conte cada pétala duas vezes; isso é um detalhe técnico mas confirma que o valor por pétala \dfrac{\pi}{3} é consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}

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