Esboce o gráfico de g(x)=\sqrt{x-4}+2.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função g(x)=\sqrt{x-4}+2.\n
Informações dadas:
  • A expressão da função é g(x)=\sqrt{x-4}+2.\n
    O que é preciso entregar ao esboçar:
  • determinar domínio e imagem (range),
  • achar pontos importantes (ponto inicial, alguns valores para guiar o traçado),
  • descrever a forma do gráfico e quaisquer interceptos/asíntotas relevantes,
  • instruções claras de como desenhar o esboço.

Passo 2

Encontre o domínio (onde a função está definida).\n
Para a raiz quadrada \sqrt{\cdot} o radicando precisa ser não negativo. Logo:
x-4 \ge 0.
Resolvendo:
x \ge 4.
Portanto o domínio é \{x \mid x\ge 4\}, ou em notação intervalar [4,\infty).

Passo 3

Encontre a imagem (range) da função.\n
Sabendo que \sqrt{t}\ge 0 para todo t\ge 0, temos \sqrt{x-4}\ge 0 quando x\ge 4. Adicionando 2:
g(x)=\sqrt{x-4}+2 \ge 0+2 = 2.
Portanto a imagem é \{y \mid y\ge 2\}, ou em notação intervalar [2,\infty).

Passo 4

Entenda o gráfico por transformações a partir da função base f(x)=\sqrt{x}.\n
  • O gráfico de f(x)=\sqrt{x} começa em (0,0) e cresce para a direita, com subida rápida perto de x=0 e ficando mais “suave” depois (curva crescente, concavidade para baixo no ramo positivo).\n
  • Na função g substituímos x por x-4: isso desloca o gráfico de f quatro unidades para a direita. Assim o ponto inicial (0,0) de f vira (4,0) antes da última transformação.\n
  • Em seguida somamos +2: isso desloca o gráfico duas unidades para cima. Portanto o ponto inicial final será (4,2).

Passo 5

Obtenha pontos de referência para desenhar o esboço.\n
Pegando pontos simples de f(x)=\sqrt{x} e aplicando as transformações:
\begin{aligned} \text{Para } x=4 &: \; g(4)=\sqrt{4-4}+2=\sqrt{0}+2=2 \quad\text{ponto }(4,2).\\[4pt] \text{Para } x=5 &: \; g(5)=\sqrt{5-4}+2=\sqrt{1}+2=1+2=3 \quad\text{ponto }(5,3).\\[4pt] \text{Para } x=8 &: \; g(8)=\sqrt{8-4}+2=\sqrt{4}+2=2+2=4 \quad\text{ponto }(8,4). \end{aligned}
Esses três pontos (4,2), (5,3), (8,4) são suficientes para guiar o formato da raiz.]

Passo 6

Analise a inclinação e o comportamento perto do ponto inicial.\n
Calcule a derivada (taxa de variação) para entender a inclinação:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x-4}+2\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{x-4}}.
Observações:
  • Para x\to 4^+ a raiz \sqrt{x-4}\to 0^+, então g'(x)\to +\infty: o gráfico é muito íngreme (tende a ter uma tangente vertical) perto de x=4, ou seja, sobe rapidamente ao sair de (4,2).
  • À medida que x aumenta, \sqrt{x-4} cresce e g'(x) diminui, então a curva vai ficando mais suave (menos inclinada).

Passo 7

Interceptos e observações finais sobre o posicionamento.\n
  • Interseção com o eixo x: resolver g(x)=0 \sqrt{x-4}+2=0\Rightarrow \sqrt{x-4}=-2, impossível. Logo não há intercepto com o eixo x.\n
  • Interseção com o eixo y: para x=0 não está no domínio, então não há intercepto y-usual.\n
  • O gráfico existe apenas para x\ge 4 e começa exatamente em (4,2), aumentando sem limite superior, mas de forma cada vez mais lenta (comportamento de raiz).

Passo 8

Instruções práticas para esboçar (como fazer na prova, sem régua complexa):\n
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque o ponto x=4 no eixo x e y=2 no eixo y.\n
  2. Plote o ponto inicial (4,2).\n
  3. Plote mais dois pontos calculados: (5,3) e (8,4).\n
  4. Ligue os pontos com uma curva suave que comece muito íngreme em (4,2) e depois vai ficando menos inclinada à medida que avança para a direita. Acrescente uma seta apontando para a direita para indicar que a curva continua indefinidamente.\n
  5. Indique que o domínio é x\ge 4 e a imagem é y\ge 2. Não desenhe nada para x<4.

Resposta

Domínio: [4,\infty)
Imagem: [2,\infty)
Pontos notáveis: (4,2),\\ (5,3),\\ (8,4)
Descrição do esboço: curva iniciando em (4,2), muito íngreme perto de x=4, crescente e suavizando conforme x aumenta, sem interceptos com eixos, para x\ge 4.

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