Esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão da função é
.\n
O que é preciso entregar ao esboçar: - determinar domínio e imagem (range),
- achar pontos importantes (ponto inicial, alguns valores para guiar o traçado),
- descrever a forma do gráfico e quaisquer interceptos/asíntotas relevantes,
- instruções claras de como desenhar o esboço.
Passo 2
Encontre o domínio (onde a função está definida).\n
Para a raiz quadrada o radicando precisa ser não negativo. Logo:
Para a raiz quadrada
Resolvendo:
Portanto o domínio é
, ou em notação intervalar
.
Passo 3
Encontre a imagem (range) da função.\n
Sabendo que para todo
, temos
quando
. Adicionando
:
Sabendo que
Portanto a imagem é
, ou em notação intervalar
.
Passo 4
Entenda o gráfico por transformações a partir da função base
.\n
- O gráfico de
começa em e cresce para a direita, com subida rápida perto de e ficando mais “suave” depois (curva crescente, concavidade para baixo no ramo positivo).\n - Na função
substituímos por : isso desloca o gráfico de quatro unidades para a direita. Assim o ponto inicial de vira antes da última transformação.\n - Em seguida somamos
: isso desloca o gráfico duas unidades para cima. Portanto o ponto inicial final será .
Passo 5
Obtenha pontos de referência para desenhar o esboço.\n
Pegando pontos simples de e aplicando as transformações:
Pegando pontos simples de
Esses três pontos
,
,
são suficientes para guiar o formato da raiz.]
Passo 6
Analise a inclinação e o comportamento perto do ponto inicial.\n
Calcule a derivada (taxa de variação) para entender a inclinação:
Calcule a derivada (taxa de variação) para entender a inclinação:
Observações:
- Para
a raiz , então : o gráfico é muito íngreme (tende a ter uma tangente vertical) perto de , ou seja, sobe rapidamente ao sair de . - À medida que
aumenta, cresce e diminui, então a curva vai ficando mais suave (menos inclinada).
Passo 7
Interceptos e observações finais sobre o posicionamento.\n
- Interseção com o eixo
: resolver dá , impossível. Logo não há intercepto com o eixo .\n - Interseção com o eixo
: para não está no domínio, então não há intercepto -usual.\n - O gráfico existe apenas para
e começa exatamente em , aumentando sem limite superior, mas de forma cada vez mais lenta (comportamento de raiz).
Passo 8
Instruções práticas para esboçar (como fazer na prova, sem régua complexa):\n
- Desenhe os eixos
e . Marque o ponto no eixo e no eixo .\n - Plote o ponto inicial
.\n - Plote mais dois pontos calculados:
e .\n - Ligue os pontos com uma curva suave que comece muito íngreme em
e depois vai ficando menos inclinada à medida que avança para a direita. Acrescente uma seta apontando para a direita para indicar que a curva continua indefinidamente.\n - Indique que o domínio é
e a imagem é . Não desenhe nada para .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Pontos notáveis:
Descrição do esboço: curva iniciando em , muito íngreme perto de
, crescente e suavizando conforme
aumenta, sem interceptos com eixos, para
.
Imagem:
Pontos notáveis:
Descrição do esboço: curva iniciando em