Escreva as autofunções singleto e tripleto do átomo de Hélio na configuração 1 s 2 s em termos do determinante de Slater.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos em mãos:
  • Pede para escrever as autofunções (funções de onda) do átomo de Hélio na configuração 1s\,2s nos estados singleto e tripleto, usando determinantes de Slater.
  • Informações relevantes dadas (ou implícitas):
    • São dois elétrons numerados por 1 e 2.
    • As orbitais espaciais são \phi_{1s}(\mathbf r) e \phi_{2s}(\mathbf r).
    • As funções de spin elementares são \alpha(s) (spin up) e \beta(s) (spin down); para abreviar escreve-se \alpha(i) e \beta(i) para o elétron i.
  • O objetivo concreto: escrever as funções singuleto e triplete em termos de determinantes de Slater formados por spin-orbitais \chi(\mathbf r,s)=\varphi(\mathbf r)\times (função de spin).

Passo 2

Noção prática: determinante de Slater para dois elétrons e normalização
  • Para dois elétrons, o determinante de Slater construído com as spin-orbitais \chi_a e \chi_b é
\Psi_{ab}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \chi_a(1) & \chi_a(2)\\[4pt] \chi_b(1) & \chi_b(2) \end{vmatrix}.
Explicação didática: a notação \chi_a(1) significa a spin-orbital \chi_a avaliada nas coordenadas (espaço+spin) do elétron 1. O fator 1/\sqrt{2} é a normalização para 2! permutações (em geral 1/\sqrt{N!} para N elétrons).
  • Se as spin-orbitais usadas são ortonormais entre si, o determinante \Psi_{ab} é já normalizado (norma igual a 1).
  • Podemos escolher as spin-orbitais a partir das orbitais espaciais e das funções de spin. Por exemplo:
    • \chi_{1s\alpha}(\mathbf r,s)=\phi_{1s}(\mathbf r)\,\alpha(s),
    • \chi_{1s\beta}(\mathbf r,s)=\phi_{1s}(\mathbf r)\,\beta(s),
    • \chi_{2s\alpha}(\mathbf r,s)=\phi_{2s}(\mathbf r)\,\alpha(s),
    • \chi_{2s\beta}(\mathbf r,s)=\phi_{2s}(\mathbf r)\,\beta(s).]

Passo 3

Construção das funções triplete (spin simétrico, espaço antissimétrico)
  • Os estados tripletos têm função de spin simétrica. Três componentes correspondentes a M_S=+1,0,-1 são:
  1. M_S=+1: ambos os spins são \alpha. Usa-se o determinante com \chi_{1s\alpha} e \chi_{2s\alpha}:
\Psi_{T,+1}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \chi_{1s\alpha}(1) & \chi_{1s\alpha}(2)\\[4pt] \chi_{2s\alpha}(1) & \chi_{2s\alpha}(2) \end{vmatrix}.
Expandindo o fator de spin comum, obtemos a forma explícita separada:
\Psi_{T,+1}(1,2)=\alpha(1)\alpha(2)\,\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl[\phi_{1s}(1)\phi_{2s}(2)-\phi_{1s}(2)\phi_{2s}(1)\bigr].
  1. M_S=-1: ambos os spins são \beta. Analogamente,
\Psi_{T,-1}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \chi_{1s\beta}(1) & \chi_{1s\beta}(2)\\[4pt] \chi_{2s\beta}(1) & \chi_{2s\beta}(2) \end{vmatrix} =\beta(1)\beta(2)\,\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl[\phi_{1s}(1)\phi_{2s}(2)-\phi_{1s}(2)\phi_{2s}(1)\bigr].
  1. M_S=0: mistura de \alpha\beta. Pode-se escrever como soma de dois determinantes (cada determinante já normalizado):
\Psi_{T,0}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Biggl[ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \chi_{1s\alpha}(1) & \chi_{1s\alpha}(2)\\[4pt] \chi_{2s\beta}(1) & \chi_{2s\beta}(2) \end{vmatrix} +\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \chi_{1s\beta}(1) & \chi_{1s\beta}(2)\\[4pt] \chi_{2s\alpha}(1) & \chi_{2s\alpha}(2) \end{vmatrix}\Biggr],
que, simplificando os fatores 1/\sqrt{2}, é frequentemente apresentada como
\Psi_{T,0}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl[\phi_{1s}(1)\phi_{2s}(2)-\phi_{1s}(2)\phi_{2s}(1)\bigr]\;\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl[\alpha(1)\beta(2)+\beta(1)\alpha(2)\bigr].
Explicação: a parte espacial é antissimétrica e a parte de spin é simétrica (a combinação \frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2)+\beta(1)\alpha(2)] é o triplete M_S=0).]

Passo 4

Construção da função singleto (spin antissimétrico, espaço simétrico)
  • O singleto tem função de spin antissimétrica \frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2)-\beta(1)\alpha(2)]. Para obter essa estrutura com determinantes de Slater, usamos a combinação apropriada de dois determinantes (cada um normalizado):
\Psi_{S}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Biggl[ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \chi_{1s\alpha}(1) & \chi_{1s\alpha}(2)\\[4pt] \chi_{2s\beta}(1) & \chi_{2s\beta}(2) \end{vmatrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \chi_{1s\beta}(1) & \chi_{1s\beta}(2)\\[4pt] \chi_{2s\alpha}(1) & \chi_{2s\alpha}(2) \end{vmatrix} \Biggr].
  • Agrupando e simplificando os fatores, esta combinação resulta na forma mais familiar, com parte espacial simétrica:
\Psi_{S}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl[\phi_{1s}(1)\phi_{2s}(2)+\phi_{1s}(2)\phi_{2s}(1)\bigr]\;\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl[\alpha(1)\beta(2)-\beta(1)\alpha(2)\bigr].
Explicação didática: como o determinante já garante antissimetria total, para obter uma função com spin antissimétrico (singleto) a combinação de determinantes coloca a antisimet ria no bloco de spins, e a parte espacial fica simétrica, como mostrado.]

Passo 5

Observações finais de uso em prova (dica prática)
  • Em prova: se pedirem a função tripleta M_S=+1 ou -1, basta escrever um único determinante com ambos spins iguais ( \alpha ou \beta): é simples e direto.
  • Para o singleto e para o triplete M_S=0 normalmente aparece uma combinação (soma ou diferença) de dois determinantes do tipo \chi_{1s\alpha},\chi_{2s\beta} e \chi_{1s\beta},\chi_{2s\alpha}. Lembre-se da normalização 1/\sqrt{2} ao combinar determinantes ortogonais.
  • Não esquecer que a parte espacial no triplete é antissimétrica (zero se \phi_{1s}=\phi_{2s}, uso prático para entender Hund e Pauli) e no singleto é simétrica.

Resposta

\Psi_{S}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Biggl[ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \chi_{1s\alpha}(1) & \chi_{1s\alpha}(2)\\[4pt] \chi_{2s\beta}(1) & \chi_{2s\beta}(2) \end{vmatrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \chi_{1s\beta}(1) & \chi_{1s\beta}(2)\\[4pt] \chi_{2s\alpha}(1) & \chi_{2s\alpha}(2) \end{vmatrix} \Biggr] =\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl[\phi_{1s}(1)\phi_{2s}(2)+\phi_{1s}(2)\phi_{2s}(1)\bigr]\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl[\alpha(1)\beta(2)-\beta(1)\alpha(2)\bigr],
\Psi_{T,+1}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \chi_{1s\alpha}(1) & \chi_{1s\alpha}(2)\\[4pt] \chi_{2s\alpha}(1) & \chi_{2s\alpha}(2) \end{vmatrix} =\alpha(1)\alpha(2)\,\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl[\phi_{1s}(1)\phi_{2s}(2)-\phi_{1s}(2)\phi_{2s}(1)\bigr],
\Psi_{T,0}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Biggl[ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \chi_{1s\alpha}(1) & \chi_{1s\alpha}(2)\\[4pt] \chi_{2s\beta}(1) & \chi_{2s\beta}(2) \end{vmatrix} +\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \chi_{1s\beta}(1) & \chi_{1s\beta}(2)\\[4pt] \chi_{2s\alpha}(1) & \chi_{2s\alpha}(2) \end{vmatrix} \Biggr] =\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl[\phi_{1s}(1)\phi_{2s}(2)-\phi_{1s}(2)\phi_{2s}(1)\bigr]\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl[\alpha(1)\beta(2)+\beta(1)\alpha(2)\bigr],
\Psi_{T,-1}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \chi_{1s\beta}(1) & \chi_{1s\beta}(2)\\[4pt] \chi_{2s\beta}(1) & \chi_{2s\beta}(2) \end{vmatrix} =\beta(1)\beta(2)\,\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl[\phi_{1s}(1)\phi_{2s}(2)-\phi_{1s}(2)\phi_{2s}(1)\bigr].]

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