Escreva as autofunções singleto e tripleto do átomo de Hélio na configuração 1 s 2 s em termos do determinante de Slater.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos em mãos:
Pede para escrever as autofunções (funções de onda) do átomo de Hélio na configuração 1s\,2s nos estados singleto e tripleto, usando determinantes de Slater.
Informações relevantes dadas (ou implícitas):
São dois elétrons numerados por 1 e 2.
As orbitais espaciais são \phi_{1s}(\mathbf r) e \phi_{2s}(\mathbf r).
As funções de spin elementares são \alpha(s) (spin up) e \beta(s) (spin down); para abreviar escreve-se \alpha(i) e \beta(i) para o elétron i.
O objetivo concreto: escrever as funções singuleto e triplete em termos de determinantes de Slater formados por spin-orbitais \chi(\mathbf r,s)=\varphi(\mathbf r)\times (função de spin).
Passo 2
Noção prática: determinante de Slater para dois elétrons e normalização
Para dois elétrons, o determinante de Slater construído com as spin-orbitais \chi_a e \chi_b é
Explicação didática: a notação \chi_a(1) significa a spin-orbital \chi_a avaliada nas coordenadas (espaço+spin) do elétron 1. O fator 1/\sqrt{2} é a normalização para 2! permutações (em geral 1/\sqrt{N!} para N elétrons).
Se as spin-orbitais usadas são ortonormais entre si, o determinante \Psi_{ab} é já normalizado (norma igual a 1).
Podemos escolher as spin-orbitais a partir das orbitais espaciais e das funções de spin. Por exemplo:
Explicação: a parte espacial é antissimétrica e a parte de spin é simétrica (a combinação \frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2)+\beta(1)\alpha(2)] é o triplete M_S=0).]
Passo 4
Construção da função singleto (spin antissimétrico, espaço simétrico)
O singleto tem função de spin antissimétrica \frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2)-\beta(1)\alpha(2)]. Para obter essa estrutura com determinantes de Slater, usamos a combinação apropriada de dois determinantes (cada um normalizado):
Explicação didática: como o determinante já garante antissimetria total, para obter uma função com spin antissimétrico (singleto) a combinação de determinantes coloca a antisimet ria no bloco de spins, e a parte espacial fica simétrica, como mostrado.]
Passo 5
Observações finais de uso em prova (dica prática)
Em prova: se pedirem a função tripleta M_S=+1 ou -1, basta escrever um único determinante com ambos spins iguais (\alpha ou \beta): é simples e direto.
Para o singleto e para o triplete M_S=0 normalmente aparece uma combinação (soma ou diferença) de dois determinantes do tipo \chi_{1s\alpha},\chi_{2s\beta} e \chi_{1s\beta},\chi_{2s\alpha}. Lembre-se da normalização 1/\sqrt{2} ao combinar determinantes ortogonais.
Não esquecer que a parte espacial no triplete é antissimétrica (zero se \phi_{1s}=\phi_{2s}, uso prático para entender Hund e Pauli) e no singleto é simétrica.