Escreva um conjunto completo de números quânticos ( n, l, m_{l}, m_{s} ) permitidos pela teoria quântica para cada um dos seguintes orbitais:
a) 2 p^{2}

Passo 1

O enunciado pede para escrever um conjunto completo de números quânticos (n,\;l,\;m_{l},\;m_{s}) permitidos pela teoria quântica para o caso dado: \,2p^{2}\,.
Informações que o enunciado fornece (pegas diretamente do símbolo \,2p^{2}\,):
  • O número principal é \,n=2.
  • A letra p indica o subnível com l=1.
  • O expoente 2 indica que há dois elétrons ocupando esse subnível 2p.
O que precisa ser entregue:
  • Um conjunto completo (isto é, listar os estados possíveis) de números quânticos para os elétrons no estado \,2p^{2}\,, respeitando as regras quânticas (incluindo o Princípio de Exclusão de Pauli).

Passo 2

Relembrando, passo a passo, o que cada número quântico significa e os valores possíveis (porque vamos usar isso para listar estados):
  • O número principal \,n determina a camada eletrônica. Aqui \,n=2 é fixo.
  • O número azimutal (ou orbital) \,l indica o tipo do orbital: para p vale \,l=1.
  • O número magnético \,m_{l} representa a orientação do orbital no espaço e pode assumir os valores inteiros
m_{l} \in \{-l,\; -l+1,\; \dots,\; l-1,\; l\}.
Para \,l=1 isso dá
m_{l}\in\{-1,\;0,\;1\}.
  • O número de spin \,m_{s} indica a componente do spin do elétron e só pode ser \,m_{s}=+\tfrac{1}{2} ou \,m_{s}=-\tfrac{1}{2}.
Importante: o Princípio de Exclusão de Pauli diz que não podem existir dois elétrons com os quatro números quânticos idênticos. Isso significa que, se dois elétrons ocupam o mesmo subnível (n,l), eles devem diferir em pelo menos um de m_{l} ou m_{s}.

Passo 3

Determinar todos os estados possíveis de um único elétron no orbital 2p.
Como n=2 e l=1, os pares (m_{l},m_{s}) possíveis são os produtos dos três valores de m_{l} por dois valores de m_{s}. Assim existem 3\times2=6 estados únicos de um elétron no subnível 2p. Vou listá-los explicitamente (cada item é um conjunto (n,l,m_{l},m_{s})):
\begin{aligned} &(2,\,1,\,-1,\;+\tfrac{1}{2}),\\\ &(2,\,1,\,-1,\;-\tfrac{1}{2}),\\\ &(2,\,1,\,0,\;+\tfrac{1}{2}),\\\ &(2,\,1,\,0,\;-\tfrac{1}{2}),\\\ &(2,\,1,\,1,\;+\tfrac{1}{2}),\\\ &(2,\,1,\,1,\;-\tfrac{1}{2}). \end{aligned}
Esses são os seis estados simples que um elétron pode ocupar no subnível 2p.

Passo 4

Agora montar os estados para a configuração \,2p^{2}\, (dois elétrons no subnível 2p).
Regras para montar as configurações de dois elétrons:
  • Cada elétron deve estar em um dos seis estados listados.
  • Não se pode atribuir exatamente o mesmo conjunto (n,l,m_{l},m_{s}) aos dois elétrons (Pauli).
  • Como os elétrons são indistinguíveis, a ordem dos dois estados não cria um novo estado físico (ou seja, o par {estado A, estado B} é igual a {estado B, estado A}). Então devemos tomar combinações sem ordem.
Contagem rápida: escolher 2 estados distintos entre 6 dá \binom{6}{2}=15 microestados possíveis. Vou enumerá-los sistematicamente para garantir que a lista fique completa e sem repetições.

Passo 5

Listagem explícita dos 15 microestados (cada linha dá os dois conjuntos de números quânticos, um para cada elétron). A ordem entre os dois elétrons NÃO importa; cada par é uma combinação única.
\begin{aligned} 1.\\ & (2,\,1,\,-1,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,-1,\,-\tfrac{1}{2})\\\\ 2.\\ & (2,\,1,\,-1,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,0,\,+\tfrac{1}{2})\\\\ 3.\\ & (2,\,1,\,-1,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,0,\,-\tfrac{1}{2})\\\\ 4.\\ & (2,\,1,\,-1,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,+\tfrac{1}{2})\\\\ 5.\\ & (2,\,1,\,-1,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,-\tfrac{1}{2})\\\\ 6.\\ & (2,\,1,\,-1,\,-\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,0,\,+\tfrac{1}{2})\\\\ 7.\\ & (2,\,1,\,-1,\,-\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,0,\,-\tfrac{1}{2})\\\\ 8.\\ & (2,\,1,\,-1,\,-\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,+\tfrac{1}{2})\\\\ 9.\\ & (2,\,1,\,-1,\,-\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,-\tfrac{1}{2})\\\\ 10.\\ & (2,\,1,\,0,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,0,\,-\tfrac{1}{2})\\\\ 11.\\ & (2,\,1,\,0,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,+\tfrac{1}{2})\\\\ 12.\\ & (2,\,1,\,0,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,-\tfrac{1}{2})\\\\ 13.\\ & (2,\,1,\,0,\,-\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,+\tfrac{1}{2})\\\\ 14.\\ & (2,\,1,\,0,\,-\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,-\tfrac{1}{2})\\\\ 15.\\ & (2,\,1,\,1,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,-\tfrac{1}{2}) \end{aligned}
Cada linha acima representa um conjunto completo de números quânticos para os dois elétrons da configuração \,2p^{2}\,, todos respeitando as regras (valores permitidos e exclusão de Pauli). Se quiser, dá pra reorganizar por M_{L}=m_{l1}+m_{l2} e M_{S}=m_{s1}+m_{s2} para obter os termos espectroscópicos (por exemplo ^{3}P,\;^{1}D,\;^{1}S), mas isso já é um passo extra de teoria de termos eletrônicos.

Resposta

(2,\,1,\,-1,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,-1,\,-\tfrac{1}{2})
(2,\,1,\,-1,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,0,\,+\tfrac{1}{2})
(2,\,1,\,-1,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,0,\,-\tfrac{1}{2})
(2,\,1,\,-1,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,+\tfrac{1}{2})
(2,\,1,\,-1,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,-\tfrac{1}{2})
(2,\,1,\,-1,\,-\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,0,\,+\tfrac{1}{2})
(2,\,1,\,-1,\,-\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,0,\,-\tfrac{1}{2})
(2,\,1,\,-1,\,-\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,+\tfrac{1}{2})
(2,\,1,\,-1,\,-\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,-\tfrac{1}{2})
(2,\,1,\,0,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,0,\,-\tfrac{1}{2})
(2,\,1,\,0,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,+\tfrac{1}{2})
(2,\,1,\,0,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,-\tfrac{1}{2})
(2,\,1,\,0,\,-\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,+\tfrac{1}{2})
(2,\,1,\,0,\,-\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,-\tfrac{1}{2})
(2,\,1,\,1,\,+\tfrac{1}{2})\\ ;\\ (2,\,1,\,1,\,-\tfrac{1}{2})

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