Escreva um conjunto completo de números quânticos ( n, l, m_{l}, m_{s} ) permitidos pela teoria quântica para cada um dos seguintes orbitais:
b) 4 f^{12}

Passo 1

O enunciado pede: "Escreva um conjunto completo de números quânticos (n, l, m_{l}, m_{s}) permitidos pela teoria quântica para o orbital 4f^{12}".
Informações dadas:
  • Trata‑se da sub‑camada 4f com ocupação de 12 elétrons, ou seja, configuração 4f^{12}.
  • É preciso fornecer um conjunto completo de quadruplas (n,l,m_{l},m_{s}) — uma quadrupla por elétron — que seja permitido pela mecânica quântica (respeitando o princípio de exclusão de Pauli).

Passo 2

O que significam e quais são os valores possíveis dos números quânticos (breve revisão didática):
  • n (número quântico principal): inteiro positivo, determina o nível de energia principal. Aqui, para o orbital 4f temos \,n=4.
  • l (número quântico azimutal): inteiro com 0\le l\le n-1, determina o tipo de orbital. As letras correspondem a l=0 (s), 1 §, 2 (d), 3 (f). Para f vale \,l=3.
  • m_{l} (número quântico magnético): inteiro que varia de -l até +l em passos de 1. Para l=3 temos os sete valores \,m_{l}=-3,-2,-1,0,1,2,3.
  • m_{s} (número quântico de spin): valores possíveis \,m_{s}=+\tfrac{1}{2} ou -\tfrac{1}{2}.
Regra essencial: princípio de exclusão de Pauli — não podem existir dois elétrons com todas as quatro componentes (n,l,m_{l},m_{s}) idênticas. Assim, cada combinação distinta de (m_{l},m_{s}) dentro de um dado (n,l) pode acomodar no máximo um elétron. Para l=3 7 valores de m_{l} e com dois spins cada resulta em 7\times2=14 estados possíveis na sub‑camada 4f.

Passo 3

O problema pede exatamente 12 elétrons ocupando esses 14 estados possíveis. Então precisamos listar 12 quadruplas distintas com \,n=4 e \,l=3, escolhendo valores de m_{l} e m_{s} que não se repitam integralmente.
Uma maneira natural e que costuma corresponder ao estado fundamental (aplicando as regras de Hund) é:
  1. Colocar primeiro um elétron em cada orbital m_{l} com o mesmo spin (maximizar o spin total, regra de Hund para a máxima multiplicidade).
  2. Depois, colocar os elétrons restantes pareando spins em alguns dos m_{l}.
Para 4f^{12}: capacidade total 14, há 12 elétrons — ou seja, faltam 2 para encher a sub‑camada. Seguindo Hund, colocamos inicialmente 7 elétrons com, por exemplo, m_{s}=+\tfrac{1}{2} em todos os m_{l}=-3,\dots,3. Restam então 12-7=5 elétrons a inserir; esses formarão pares em cinco dos sete orbitais com m_{s}=-\tfrac{1}{2}. Assim ficamos com 7 spins “up” e 5 spins “down”, totalizando 12 elétrons e respeitando Pauli.
Observação rápida sobre spin total: com essa distribuição temos número de spins up =7 e spins down =5, logo o spin total S (quantidade de spin não emparelhado/2) é
S=\frac{7-5}{2}=1.
Isso só serve para intuir a multiplicidade, não é pedido explicitamente, mas confirma que a distribuição é plausível.

Passo 4

Agora vou escolher explicitamente quais m_{l} receberão os elétrons com m_{s}=-\tfrac{1}{2}. Qualquer escolha que não viole Pauli é válida; uma escolha simples e simétrica é parear os cinco menores (ou centrais) valores de m_{l}, por exemplo parear \,m_{l}=-3,-2,-1,0,1, deixando \,m_{l}=2 e 3 com apenas o elétron de m_{s}=+\tfrac{1}{2}. Essa escolha dá exatamente 12 quadruplas distintas e respeita Hund (máxima multiplicidade inicial e depois pareamento dos demais).
Não vou repetir aqui a lista final (para seguir as regras), mas estou preparado para entregá‑la organizada e completa na seção de resposta final.

Resposta

n=4,\\ l=3,\\ m_{l}=-3,\\ m_{s}=+\dfrac{1}{2}
n=4,\\ l=3,\\ m_{l}=-3,\\ m_{s}=-\dfrac{1}{2}
n=4,\\ l=3,\\ m_{l}=-2,\\ m_{s}=+\dfrac{1}{2}
n=4,\\ l=3,\\ m_{l}=-2,\\ m_{s}=-\dfrac{1}{2}
n=4,\\ l=3,\\ m_{l}=-1,\\ m_{s}=+\dfrac{1}{2}
n=4,\\ l=3,\\ m_{l}=-1,\\ m_{s}=-\dfrac{1}{2}
n=4,\\ l=3,\\ m_{l}=0,\\ m_{s}=+\dfrac{1}{2}
n=4,\\ l=3,\\ m_{l}=0,\\ m_{s}=-\dfrac{1}{2}
n=4,\\ l=3,\\ m_{l}=1,\\ m_{s}=+\dfrac{1}{2}
n=4,\\ l=3,\\ m_{l}=1,\\ m_{s}=-\dfrac{1}{2}
n=4,\\ l=3,\\ m_{l}=2,\\ m_{s}=+\dfrac{1}{2}
n=4,\\ l=3,\\ m_{l}=3,\\ m_{s}=+\dfrac{1}{2}

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