Escreva a equaçāo que fornece a força gravitacional entre duas massas m e m. Sabendo que esta força é conservativa, calcule a energía potencial gravitacional entre as duas massas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Escrever a equação que fornece a força gravitacional entre duas massas iguais, m e m, separadas por uma distância r.
  • Sabendo que essa força é conservativa, calcular a energia potencial gravitacional entre as duas massas.
Informações relevantes fornecidas (e que vamos usar):
  • As duas massas valem m e m.
  • A distância entre elas é r.
  • Existe a constante universal da gravitação, que denotei por G.
  • A força é conservativa (isso permite definir energia potencial).

Passo 2

Escrever a lei da força gravitacional (magnitude e direção).
A versão vetorial da lei de Newton para a gravitação entre duas massas idênticas m e m separadas por r é:
\vec F(r) = -G\,\frac{m\,m}{r^{2}}\,\hat r.
Explicação didática do que cada símbolo significa:
  • G é a constante gravitacional (número positivo).
  • m e m são as duas massas (aqui iguais).
  • r é a distância entre os centros das massas.
  • \hat r é o vetor unitário que aponta no sentido de aumento de r (ou seja, do corpo 1 para o corpo 2).
  • O sinal negativo indica que a força é atrativa: ela aponta no sentido de diminuir r (direção oposta a \hat r).
    Se preferir simplificar a escrita da magnitude, a força tem módulo
F(r)=G\,\frac{m^{2}}{r^{2}}.

Passo 3

Lembrar a relação entre força conservativa e energia potencial.
Para uma força conservativa \vec F(\vec r) existe uma energia potencial U(\vec r) tal que, para qualquer ponto de referência,
U(\vec r_{2})-U(\vec r_{1}) = -\int_{\vec r_{1}}^{\vec r_{2}} \vec F\cdot d\vec r.
Uma convenção muito usada em gravitação é escolher como referência U(\infty)=0 (energia potencial nula quando as massas estão infinitamente separadas). Com essa escolha,
U(r) = -\int_{\infty}^{r} \vec F\cdot d\vec r.
Aqui r é a distância entre as massas (função escalar), e a integração é feita ao longo da direção radial.

Passo 4

Preparar a integral para calcular U(r), usando a forma radial da força.
A força vetorial que escrevemos é \vec F(r) = -G\,\dfrac{m^{2}}{r^{2}}\,\hat r.
Ao mover-se radialmente, d\vec r = dr\,\hat r, logo o produto escalar fica
\vec F\cdot d\vec r = \left(-G\,\frac{m^{2}}{r^{2}}\,\hat r\right)\cdot \left(dr\,\hat r\right) = -G\,\frac{m^{2}}{r^{2}}\,dr.
Substituindo na fórmula da energia potencial com a referência em infinito:
U(r) = -\int_{\infty}^{r} \left(-G\,\frac{m^{2}}{r^{2}}\,dr\right).

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
Primeiro simplificar o sinal:
U(r)= -\int_{\infty}^{r} \left(-G\,\frac{m^{2}}{r^{2}}\right)dr = \int_{\infty}^{r} G\,m^{2}\,r^{-2}\,dr.
Agora integrar r^{-2}:
\int r^{-2}\,dr = -\frac{1}{r} + C.
Aplicando os limites de \infty a r:
\int_{\infty}^{r} r^{-2}\,dr = \left[-\frac{1}{r}\right]_{\infty}^{r} = -\frac{1}{r} - \bigl(0\bigr) = -\frac{1}{r},
porque \displaystyle\lim_{R\to\infty}\frac{1}{R}=0.
Multiplicando pelo fator G\,m^{2} obtemos
U(r) = G\,m^{2}\left(-\frac{1}{r}\right) = -G\,\frac{m^{2}}{r}.

Passo 6

Interpretar o resultado e comentar sobre o sinal e a constante de referência.
  • A expressão encontrada é
U(r) = -G\,\frac{m^{2}}{r},
assumindo U(\infty)=0.
  • O sinal negativo indica que o sistema ligado (duas massas próximas) tem energia potencial menor que o estado em que estão infinitamente separadas: é necessário fornecer energia (fazer trabalho positivo) para separar as massas até \infty.
  • Caso as massas fossem distintas, a forma geral seria U(r) = -G\,\dfrac{m_{1}m_{2}}{r}. No enunciado ambas valiam m, então m_{1}m_{2}=m^{2}.

Resposta

\displaystyle \vec F(r) = -G\,\frac{m^{2}}{r^{2}}\,\hat r\n
\displaystyle U(r) = -G\,\frac{m^{2}}{r}

Exercícios relacionados