Escreva a equaçāo que fornece a força gravitacional entre duas massas
e
. Sabendo que esta força é conservativa, calcule a energía potencial gravitacional entre as duas massas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Escrever a equação que fornece a força gravitacional entre duas massas iguais,
e , separadas por uma distância . - Sabendo que essa força é conservativa, calcular a energia potencial gravitacional entre as duas massas.
Informações relevantes fornecidas (e que vamos usar):
- As duas massas valem
e . - A distância entre elas é
. - Existe a constante universal da gravitação, que denotei por
. - A força é conservativa (isso permite definir energia potencial).
Passo 2
Escrever a lei da força gravitacional (magnitude e direção).
A versão vetorial da lei de Newton para a gravitação entre duas massas idênticas e
separadas por
é:
A versão vetorial da lei de Newton para a gravitação entre duas massas idênticas
Explicação didática do que cada símbolo significa:
-
é a constante gravitacional (número positivo). -
e são as duas massas (aqui iguais). -
é a distância entre os centros das massas. -
é o vetor unitário que aponta no sentido de aumento de (ou seja, do corpo 1 para o corpo 2). - O sinal negativo indica que a força é atrativa: ela aponta no sentido de diminuir
(direção oposta a ).
Se preferir simplificar a escrita da magnitude, a força tem módulo
Passo 3
Lembrar a relação entre força conservativa e energia potencial.
Para uma força conservativa existe uma energia potencial
tal que, para qualquer ponto de referência,
Para uma força conservativa
Uma convenção muito usada em gravitação é escolher como referência
(energia potencial nula quando as massas estão infinitamente separadas). Com essa escolha,
Aqui
é a distância entre as massas (função escalar), e a integração é feita ao longo da direção radial.
Passo 4
Preparar a integral para calcular
, usando a forma radial da força.
A força vetorial que escrevemos é .
Ao mover-se radialmente, , logo o produto escalar fica
A força vetorial que escrevemos é
Ao mover-se radialmente,
Substituindo na fórmula da energia potencial com a referência em infinito:
Passo 5
Calcular a integral passo a passo.
Primeiro simplificar o sinal:
Primeiro simplificar o sinal:
Agora integrar
:
Aplicando os limites de
a
:
porque
.
Multiplicando pelo fator obtemos
Multiplicando pelo fator
Passo 6
Interpretar o resultado e comentar sobre o sinal e a constante de referência.
- A expressão encontrada é
assumindo
.
- O sinal negativo indica que o sistema ligado (duas massas próximas) tem energia potencial menor que o estado em que estão infinitamente separadas: é necessário fornecer energia (fazer trabalho positivo) para separar as massas até
. - Caso as massas fossem distintas, a forma geral seria
. No enunciado ambas valiam , então .