Escreva a expressão das curvas que parametrizam as seguintes retas:
passa pelos pontos A(1,-2) e B(0,0) indo de B para A. R:(t,-2 t), em todos os itens 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se escrever a expressão de uma curva que parametriza a reta que passa pelos pontos A(1,-2) e B(0,0), com sentido de B para A.
  • Foi fornecida a proposta R:(t,-2t) e o intervalo do parâmetro é 0 \leq t \leq 1.
  • Objetivo: verificar/obter a parametrização e mostrar que ela realmente vai de B a A quando t vai de 0 a 1.

Passo 2

Método padrão para parametrizar o segmento de reta entre dois pontos.
Uma maneira simples e sistemática de parametrizar o segmento que vai de um ponto P_0 até P_1 é usar a interpolação linear
r(t)=(1-t)P_0+tP_1,
onde t é o parâmetro e 0\le t\le 1.
Aqui:
  • P_0 é o ponto inicial (quando t=0),
  • P_1 é o ponto final (quando t=1),
  • a fórmula significa que cada componente é uma média ponderada entre as componentes de P_0 e P_1.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso P_0=B=(0,0) e P_1=A=(1,-2).
Usando a expressão do passo anterior:
r(t)=(1-t)(0,0)+t(1,-2).
Agora calculamos componente a componente:
(1-t)(0,0)=(0,0),
t(1,-2)=(t,-2t).
Somando as duas parcelas obtemos
r(t)=(t,-2t).

Passo 4

Verificação dos extremos e do sentido.
  • Para t=0: \;r(0)=(0,-0)=(0,0)=B.
  • Para t=1: \;r(1)=(1,-2)=A.
    Portanto, quando t varia de 0 para 1 a curva vai de B para A, conforme exigido.

Passo 5

Observações adicionais (úteis na prova).
  • A expressão \;r(t)=(t,-2t)\; com 0\le t\le 1 descreve exatamente o segmento de reta entre B e A.
  • Se permitíssemos t\in\mathbb{R}, a mesma fórmula descreve a reta completa que contém A e B.
  • Outra escrita equivalente (vetorial) é
r(t)=B+t(A-B)= (0,0)+t(1,-2)=(t,-2t).

Resposta

R(t)=(t,-2t),\\\ 0\le t\le 1

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