Escreva a expressão das curvas que parametrizam as seguintes retas:
passa pelos pontos
e
indo de B para A.
, em todos os itens
.
passa pelos pontos
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se escrever a expressão de uma curva que parametriza a reta que passa pelos pontos
e , com sentido de para . - Foi fornecida a proposta
e o intervalo do parâmetro é . - Objetivo: verificar/obter a parametrização e mostrar que ela realmente vai de
a quando vai de a .
Passo 2
Método padrão para parametrizar o segmento de reta entre dois pontos.
Uma maneira simples e sistemática de parametrizar o segmento que vai de um ponto até
é usar a interpolação linear
Uma maneira simples e sistemática de parametrizar o segmento que vai de um ponto
onde
é o parâmetro e
.
Aqui:
Aqui:
-
é o ponto inicial (quando ), -
é o ponto final (quando ), - a fórmula significa que cada componente é uma média ponderada entre as componentes de
e .
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso
e
.
Usando a expressão do passo anterior:
Usando a expressão do passo anterior:
Agora calculamos componente a componente:
Somando as duas parcelas obtemos
Passo 4
Verificação dos extremos e do sentido.
- Para
: . - Para
: .
Portanto, quandovaria de para a curva vai de para , conforme exigido.
Passo 5
Observações adicionais (úteis na prova).
- A expressão
com descreve exatamente o segmento de reta entre e . - Se permitíssemos
, a mesma fórmula descreve a reta completa que contém e . - Outra escrita equivalente (vetorial) é