Escreva a expressão das curvas que parametrizam as seguintes retas:
passa pelos pontos A(0,1) e B(2,3) indo de A para B . R:(2 t, 1+2 t), em todos os itens 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (pego diretamente do enunciado):
  • Pontos dados: A(0,1) e B(2,3).
  • Pedido: escrever a expressão da curva que parametriza a reta que passa por A e B indo de A para B.
  • Domínio do parâmetro informado: 0 \leq t \leq 1.
  • A expressão sugerida no enunciado: R:(2t,\,1+2t).

Passo 2

Ideia de construção (fórmula padrão que vou usar).
  • Uma forma muito prática de parametrizar o segmento de reta entre dois pontos é usar combinação convexa:
\mathbf{r}(t) = (1-t)\,\mathbf{A} + t\,\mathbf{B},\qquad 0\le t\le 1.
  • Aqui \mathbf{A} e \mathbf{B} são os vetores posição dos pontos A e B. A razão dessa fórmula:
    • em t=0 temos \mathbf{r}(0)=\mathbf{A};
    • em t=1 temos \mathbf{r}(1)=\mathbf{B};
    • para 0<t<1 ela dá pontos entre A e B, movendo-se de A para B.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos pontos dados.
  • Escrevo os vetores posição:
\mathbf{A}=(0,1),\qquad \mathbf{B}=(2,3).
  • Uso a forma alternativa equivalente \mathbf{r}(t)=\mathbf{A}+t(\mathbf{B}-\mathbf{A}). Primeiro calculo \mathbf{B}-\mathbf{A}:
\mathbf{B}-\mathbf{A}=(2,3)-(0,1)=(2,2).

Passo 4

Montando a parametrização coordenada.
  • Substituo em \mathbf{r}(t)=\mathbf{A}+t(\mathbf{B}-\mathbf{A}):
\mathbf{r}(t)=(0,1)+t(2,2).
  • Isso dá, componente a componente,
x(t)=0+2t=2t,\qquad y(t)=1+2t.

Passo 5

Verificações importantes (para usar na prova: sempre cheque).
  • Para t=0:
\mathbf{r}(0)=(2\cdot 0,\,1+2\cdot 0)=(0,1)=A.
  • Para t=1:
\mathbf{r}(1)=(2\cdot 1,\,1+2\cdot 1)=(2,3)=B.
  • A derivada \mathbf{r}'(t)=(2,2) indica a direção do movimento: como (2,2) aponta de A para B, o sentido da parametrização é realmente de A para B.

Passo 6

Observações rápidas e variações úteis para a prova.
  • Forma vetorial curta: \mathbf{r}(t)=(2t,\,1+2t), 0\le t\le 1.
  • Forma com outro parâmetro s em [a,b]: basta reparametrizar por t=\dfrac{s-a}{b-a} se precisar de outro intervalo.
  • A equação cartesiana da reta (para referência) é \;y=x+1, já que os pontos satisfazem essa relação; mas a parametrização acima é a resposta pedida.

Resposta

\mathbf{r}(t)=(2t,\,1+2t),\quad 0\le t\le 1

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