Escreva a expressão das curvas que parametrizam as seguintes retas:
passa pelos pontos
e
indo de A para B .
, em todos os itens
.
passa pelos pontos
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (pego diretamente do enunciado):
- Pontos dados:
e . - Pedido: escrever a expressão da curva que parametriza a reta que passa por
e indo de para . - Domínio do parâmetro informado:
. - A expressão sugerida no enunciado:
.
Passo 2
Ideia de construção (fórmula padrão que vou usar).
- Uma forma muito prática de parametrizar o segmento de reta entre dois pontos é usar combinação convexa:
- Aqui
e são os vetores posição dos pontos e . A razão dessa fórmula: - em
temos ; - em
temos ; - para
ela dá pontos entre e , movendo-se de para .
- em
Passo 3
Aplicando a fórmula aos pontos dados.
- Escrevo os vetores posição:
- Uso a forma alternativa equivalente
. Primeiro calculo :
Passo 4
Montando a parametrização coordenada.
- Substituo em
:
- Isso dá, componente a componente,
Passo 5
Verificações importantes (para usar na prova: sempre cheque).
- Para
:
- Para
:
- A derivada
indica a direção do movimento: como aponta de para , o sentido da parametrização é realmente de para .
Passo 6
Observações rápidas e variações úteis para a prova.
- Forma vetorial curta:
, . - Forma com outro parâmetro
em : basta reparametrizar por se precisar de outro intervalo. - A equação cartesiana da reta (para referência) é
, já que os pontos satisfazem essa relação; mas a parametrização acima é a resposta pedida.