Escreva a expressão das curvas que parametrizam as seguintes retas:
passa pelos pontos A(-2,1,5) e B(1,2,3) indo de A para B. R:(-2+3 t, 1+t, 5-2 t), em todos os itens 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no espaço e pede a expressão paramétrica da reta que vai de um para o outro, usando o parâmetro t no intervalo [0,1]. Dados fornecidos:
  • A = (-2,1,5)
  • B = (1,2,3)
O que se pede: escrever a curva que parametriza a reta passando por A e B, com direção de A para B, e com 0 \le t \le 1.

Passo 2

Idéia principal (sem usar jargão): para parametrizar a reta que vai de A a B usa-se a equação
\mathbf{r}(t)=\mathbf{A}+t(\mathbf{B}-\mathbf{A}).
Aqui \mathbf{A} e \mathbf{B} são os vetores posição dos pontos A e B, e \mathbf{B}-\mathbf{A} é o vetor que aponta de A para B. O parâmetro t escala esse vetor; quando t=0 estamos em A e quando t=1 estamos em B. Isso garante que, variando t entre 0 e 1, percorremos exatamente o segmento de reta de A para B.

Passo 3

Calcular o vetor direção \mathbf{d}=\mathbf{B}-\mathbf{A} componente a componente:
\begin{aligned} d_x &= 1 - (-2) = 3,\\[4pt] d_y &= 2 - 1 = 1,\\[4pt] d_z &= 3 - 5 = -2. \end{aligned}
Logo \mathbf{d}=(3,1,-2).]

Passo 4

Aplicar a fórmula \mathbf{r}(t)=\mathbf{A}+t\mathbf{d}. Escrevendo em coordenadas:
\mathbf{r}(t)=(-2,1,5)+t(3,1,-2).
Fazendo a soma componente a componente obtemos a parametrização explícita:
\mathbf{r}(t)=(-2+3t,\;1+t,\;5-2t),\qquad 0\le t\le 1.

Passo 5

Verificações rápidas (para você confiar no resultado):
  • Para t=0 temos \mathbf{r}(0)=(-2,1,5)=A.
  • Para t=1 temos \mathbf{r}(1)=(1,2,3)=B.
  • Como o coeficiente de t é (3,1,-2), o vetor cresce na direção de B; portanto, ao aumentar t de 0 para 1 percorremos o segmento de A até B.

Resposta

\mathbf{r}(t)=(-2+3t,\;1+t,\;5-2t),\\\ 0\le t\le 1

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