Escreva a expressão das curvas que parametrizam as seguintes retas:
passa pelos pontos A(3,3,0) e B(5,-3,2) indo de B para A. R:(5-2 t,-3+6 t, 2-2 t), em todos os itens 0 \leq t \leq 1.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
Pontos fornecidos: A(3,3,0) e B(5,-3,2).\n
Orientação pedida: a reta deve ir de B para A.\n
Intervalo do parâmetro: 0 \leq t \leq 1.\n
O pedido: escrever a expressão da curva que parametriza a reta com essas condições (ou seja, a função posição \mathbf{r}(t) que descreve a reta, com t no intervalo dado).
Passo 2
Ideia e fórmula geral (explicadinha):\n
Para parametrizar uma reta no espaço normalmente usamos a fórmula
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v},
onde:\n
\mathbf{r}(t) é o vetor posição de um ponto genérico da reta quando o parâmetro vale t;\n
\mathbf{r}_0 é o vetor posição de um ponto conhecido da reta (escolhe-se um dos pontos dados);\n
\mathbf{v} é um vetor diretor da reta (aponta a direção e o sentido em que t cresce);\n
t é o parâmetro (aqui será escolhido em [0,1]).\n
Se escolhermos \mathbf{r}_0 sendo o ponto inicial do segmento (aqui queremos ir de B para A), então tomar \mathbf{r}_0=\overrightarrow{OB} e \mathbf{v}=\overrightarrow{BA} faz com que t=0 dê B e t=1 dê A. Isso garante a orientação correta.
Passo 3
Calcular o vetor diretor \overrightarrow{BA}:\n
O vetor \overrightarrow{BA} é a diferença entre as coordenadas de A e B:
\overrightarrow{BA}=A-B=(3-5,\;3-(-3),\;0-2).
Fazendo cada subtração passo a passo:
3-5=-2,\qquad 3-(-3)=3+3=6,\qquad 0-2=-2.
Logo
\overrightarrow{BA}=(-2,\;6,\;-2).
Passo 4
Montar a parametrização usando B como ponto inicial e \overrightarrow{BA} como vetor diretor:\n
Escrevendo \mathbf{r}_0=(5,-3,2) e \mathbf{v}=(-2,6,-2), aplica-se a fórmula
Forma simétrica (quando os componentes do vetor diretor são todos não nulos):
\frac{x-5}{-2}=\frac{y+3}{6}=\frac{z-2}{-2}.
Se quiser reverter o sentido (ir de A para B), basta trocar o sinal do vetor diretor ou parametrizar a partir de A: por exemplo \mathbf{s}(t)=(3,3,0)+t(2,-6,2) com 0\le t\le1 dá A em t=0 e B em t=1.\n
Boa — a parametrização está feita e verificada: subindo t de 0 a 1 vai-se de B a A.