Escreva a expressão das curvas que parametrizam as seguintes retas:
passa pelos pontos A(3,3,0) e B(5,-3,2) indo de B para A. R:(5-2 t,-3+6 t, 2-2 t), em todos os itens 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Pontos fornecidos: A(3,3,0) e B(5,-3,2).\n
  • Orientação pedida: a reta deve ir de B para A.\n
  • Intervalo do parâmetro: 0 \leq t \leq 1.\n
  • O pedido: escrever a expressão da curva que parametriza a reta com essas condições (ou seja, a função posição \mathbf{r}(t) que descreve a reta, com t no intervalo dado).

Passo 2

Ideia e fórmula geral (explicadinha):\n
Para parametrizar uma reta no espaço normalmente usamos a fórmula
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v},
onde:\n
  • \mathbf{r}(t) é o vetor posição de um ponto genérico da reta quando o parâmetro vale t;\n
  • \mathbf{r}_0 é o vetor posição de um ponto conhecido da reta (escolhe-se um dos pontos dados);\n
  • \mathbf{v} é um vetor diretor da reta (aponta a direção e o sentido em que t cresce);\n
  • t é o parâmetro (aqui será escolhido em [0,1]).\n
    Se escolhermos \mathbf{r}_0 sendo o ponto inicial do segmento (aqui queremos ir de B para A), então tomar \mathbf{r}_0=\overrightarrow{OB} e \mathbf{v}=\overrightarrow{BA} faz com que t=0 B e t=1 A. Isso garante a orientação correta.

Passo 3

Calcular o vetor diretor \overrightarrow{BA}:\n
O vetor \overrightarrow{BA} é a diferença entre as coordenadas de A e B:
\overrightarrow{BA}=A-B=(3-5,\;3-(-3),\;0-2).
Fazendo cada subtração passo a passo:
3-5=-2,\qquad 3-(-3)=3+3=6,\qquad 0-2=-2.
Logo
\overrightarrow{BA}=(-2,\;6,\;-2).

Passo 4

Montar a parametrização usando B como ponto inicial e \overrightarrow{BA} como vetor diretor:\n
Escrevendo \mathbf{r}_0=(5,-3,2) e \mathbf{v}=(-2,6,-2), aplica-se a fórmula
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v}=(5,-3,2)+t(-2,6,-2).
Fazendo a soma coordenada a coordenada:
\mathbf{r}(t)=(5-2t,\; -3+6t,\; 2-2t).
Verificação dos extremos (importante para garantir a orientação e o intervalo):\n
  • Para t=0:
\mathbf{r}(0)=(5,-3,2)=B.
  • Para t=1:
\mathbf{r}(1)=(5-2,\,-3+6,\;2-2)=(3,3,0)=A.
Portanto, com 0\le t\le1 a parametrização vai exatamente de B (em t=0) a A (em t=1), como exigido.

Passo 5

Formas alternativas e observações rápidas:\n
  • Forma vetorial (mostra a dependência do parâmetro de forma compacta):
\mathbf{r}(t)=\langle 5-2t,\; -3+6t,\; 2-2t\rangle.
  • Forma simétrica (quando os componentes do vetor diretor são todos não nulos):
\frac{x-5}{-2}=\frac{y+3}{6}=\frac{z-2}{-2}.
  • Se quiser reverter o sentido (ir de A para B), basta trocar o sinal do vetor diretor ou parametrizar a partir de A: por exemplo \mathbf{s}(t)=(3,3,0)+t(2,-6,2) com 0\le t\le1 A em t=0 e B em t=1.\n
    Boa — a parametrização está feita e verificada: subindo t de 0 a 1 vai-se de B a A.

Resposta

R:(5-2t,\,-3+6t,\;2-2t),\\\ 0\le t\le 1

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