Escreva seis diferentes integrais triplas iteradas para o volume do tetraedro cortado a partir do primeiro octante pelo plano 6 x+3 y+2 z=6. Calcule uma das integrais.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2-2 x} \int_{0}^{3-3 x-\frac{3 y}{2}} d z d y d x,
\int_{0}^{2} \int_{0}^{3-\frac{3 y}{2}} \int_{0}^{1-\frac{y}{2}-\frac{z}{3}} d x d z d y, \int_{0}^{3} \int_{0}^{2-\frac{2 z}{3}} \int_{0}^{1-\frac{y}{2}-\frac{z}{3}} d x d y d z=1

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A região é o tetraedro obtido no primeiro octante ( x\ge0, y\ge0, z\ge0) pelo plano 6x+3y+2z=6.
  • Pede-se: (i) escrever seis integrais triplas iteradas diferentes que representem o volume dessa região (uma para cada ordem de integração possível); (ii) calcular uma dessas integrais.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Interceptos com os eixos (obtidos fazendo duas coordenadas iguais a zero):
    • eixo x: 6x=6\Rightarrow x=1.
    • eixo y: 3y=6\Rightarrow y=2.
    • eixo z: 2z=6\Rightarrow z=3.
  • A desigualdade que define a região (dentro do tetraedro) é 6x+3y+2z\le 6,\qquad x\ge0,\\ y\ge0,\\ z\ge0.

Passo 2

Expressões úteis para as fronteiras (isolando cada variável):
  • Isolando z: 2z=6-6x-3y\quad\Rightarrow\quad z=3-3x-\tfrac{3}{2}y.
  • Isolando x: 6x=6-3y-2z\quad\Rightarrow\quad x=1-\tfrac{1}{2}y-\tfrac{1}{3}z.
  • Isolando y: 3y=6-6x-2z\quad\Rightarrow\quad y=2-2x-\tfrac{2}{3}z.
Projeções nos planos coordenados (usadas para limites externos):
  • Projeção no plano xy (colocando z=0): 2x+y\le 2\quad\Rightarrow\quad x\in[0,1],\quad y\in[0,\,2-2x].
  • Projeção no plano xz (colocando y=0): 3x+z\le 3\quad\Rightarrow\quad x\in[0,1],\quad z\in[0,\,3-3x].
  • Projeção no plano yz (colocando x=0): 3y+2z\le6\quad\Rightarrow\quad y\in[0,2],\quad z\in[0,\,3-\tfrac{3}{2}y].
Essas expressões permitem construir limites para todas as ordens de integração.

Passo 3

Seis integrais triplas iteradas (cada uma equivalente ao volume da região, integrando a função 1 sobre a região), uma para cada ordem de integração possível:
  1. Ordem dz\,dy\,dx:
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2-2x}\int_{z=0}^{3-3x-\tfrac{3}{2}y} 1\;dz\,dy\,dx.
  1. Ordem dz\,dx\,dy:
\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{1-\tfrac{1}{2}y}\int_{z=0}^{3-3x-\tfrac{3}{2}y} 1\;dz\,dx\,dy.
  1. Ordem dy\,dz\,dx:
\int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{3-3x}\int_{y=0}^{2-2x-\tfrac{2}{3}z} 1\;dy\,dz\,dx.
  1. Ordem dy\,dx\,dz:
\int_{z=0}^{3}\int_{x=0}^{1-\tfrac{1}{3}z}\int_{y=0}^{2-2x-\tfrac{2}{3}z} 1\;dy\,dx\,dz.
  1. Ordem dx\,dz\,dy:
\int_{y=0}^{2}\int_{z=0}^{3-\tfrac{3}{2}y}\int_{x=0}^{1-\tfrac{1}{2}y-\tfrac{1}{3}z} 1\;dx\,dz\,dy.
  1. Ordem dx\,dy\,dz:
\int_{z=0}^{3}\int_{y=0}^{2-\tfrac{2}{3}z}\int_{x=0}^{1-\tfrac{1}{2}y-\tfrac{1}{3}z} 1\;dx\,dy\,dz.
(Observação: as seis ordens cobrem todas as permutações de x,y,z; os limites externos vêm das projeções descritas no Passo 2 e os limites internos vêm das expressões isoladas de cada variável.)

Passo 4

Agora vou calcular passo a passo a integral (1) na ordem dz\,dy\,dx:
I=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2-2x}\int_{z=0}^{3-3x-\tfrac{3}{2}y} 1\;dz\,dy\,dx.
Explicação do plano de ataque: integrar primeiro em z é simples porque o integrando é 1; o resultado será a função que dá a “altura” z-máxima para cada (x,y). Depois integraremos em y (uma integral de polinômio em y), e por fim em x.
Passo A — integral interna em z:
\int_{z=0}^{3-3x-\tfrac{3}{2}y} 1\;dz = \Big[z\Big]_{0}^{3-3x-\tfrac{3}{2}y} = 3-3x-\tfrac{3}{2}y.
Comentário: integrar 1 em z dá simplesmente a largura/altura do intervalo em z.
Passo B — integrar em y:
\int_{y=0}^{2-2x}\left(3-3x-\tfrac{3}{2}y\right) dy.
É conveniente fatorar 3:
=3\int_{0}^{2-2x}\left(1-x-\tfrac{1}{2}y\right) dy.
Calcule a primitiva: a primitiva de 1-x em y é (1-x)y; a primitiva de -\tfrac{1}{2}y é -\tfrac{1}{4}y^{2}. Portanto
3\Big[(1-x)y-\tfrac{1}{4}y^{2}\Big]_{0}^{2-2x}.
Agora avalia em y=2-2x. Note que 2-2x=2(1-x). Então
(1-x)(2-2x)=2(1-x)^{2}, \qquad \tfrac{1}{4}(2-2x)^{2}=\tfrac{1}{4}\cdot 4(1-x)^{2}=(1-x)^{2}.
Substituindo:
3\Big(2(1-x)^{2} - (1-x)^{2}\Big)=3(1-x)^{2}.
Portanto depois da integração em y ficamos com a função de x:
\int_{y=0}^{2-2x}\left(3-3x-\tfrac{3}{2}y\right) dy = 3(1-x)^{2}.
Passo C — integrar em x:
I=\int_{x=0}^{1} 3(1-x)^{2} dx.
Expandir ou usar substituição: é simples expandir (1-x)^{2}=1-2x+x^{2}. Assim
I=3\int_{0}^{1} (1-2x+x^{2}) dx = 3\Big[ x - x^{2} + \tfrac{1}{3}x^{3} \Big]_{0}^{1}.
Avaliar em 1 e em 0:
I=3\left(1 -1 + \tfrac{1}{3}\right)=3\cdot \tfrac{1}{3}=1.
Interpretando: o volume do tetraedro é 1. (Esse resultado também pode ser obtido pela fórmula do volume de um tetraedro com interceptos a,b,c nos eixos: V=\tfrac{1}{6}abc. Aqui a=1, b=2, c=3, logo V=\tfrac{1}{6}\cdot1\cdot2\cdot3=1.)

Passo 5

Recapitulando de forma motivadora: conseguimos escrever as seis integrais correspondentes a todas as ordens possíveis e calcular uma delas passo a passo; o volume dá 1. Se estiver nervoso para a prova, lembra: identificar interceptos e isolar a variável interna costuma ser a parte chave — depois é cálculo direto. Força, você consegue!

Resposta

\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2-2x}\int_{z=0}^{3-3x-\tfrac{3}{2}y} 1\;dz\,dy\,dx,
\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{1-\tfrac{1}{2}y}\int_{z=0}^{3-3x-\tfrac{3}{2}y} 1\;dz\,dx\,dy,
\int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{3-3x}\int_{y=0}^{2-2x-\tfrac{2}{3}z} 1\;dy\,dz\,dx,
\int_{z=0}^{3}\int_{x=0}^{1-\tfrac{1}{3}z}\int_{y=0}^{2-2x-\tfrac{2}{3}z} 1\;dy\,dx\,dz,
\int_{y=0}^{2}\int_{z=0}^{3-\tfrac{3}{2}y}\int_{x=0}^{1-\tfrac{1}{2}y-\tfrac{1}{3}z} 1\;dx\,dz\,dy,
\int_{z=0}^{3}\int_{y=0}^{2-\tfrac{2}{3}z}\int_{x=0}^{1-\tfrac{1}{2}y-\tfrac{1}{3}z} 1\;dx\,dy\,dz
Volume =1

Exercícios relacionados