Escreva seis diferentes integrais triplas iteradas para o volume do tetraedro cortado a partir do primeiro octante pelo plano
. Calcule uma das integrais.
,
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- A região é o tetraedro obtido no primeiro octante (
, , ) pelo plano - Pede-se: (i) escrever seis integrais triplas iteradas diferentes que representem o volume dessa região (uma para cada ordem de integração possível); (ii) calcular uma dessas integrais.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Interceptos com os eixos (obtidos fazendo duas coordenadas iguais a zero):
- eixo
: . - eixo
: . - eixo
: .
- eixo
- A desigualdade que define a região (dentro do tetraedro) é
Passo 2
Expressões úteis para as fronteiras (isolando cada variável):
- Isolando
: - Isolando
: - Isolando
:
Projeções nos planos coordenados (usadas para limites externos):
- Projeção no plano
(colocando ): - Projeção no plano
(colocando ): - Projeção no plano
(colocando ):
Essas expressões permitem construir limites para todas as ordens de integração.
Passo 3
Seis integrais triplas iteradas (cada uma equivalente ao volume da região, integrando a função
sobre a região), uma para cada ordem de integração possível:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
(Observação: as seis ordens cobrem todas as permutações de
; os limites externos vêm das projeções descritas no Passo 2 e os limites internos vêm das expressões isoladas de cada variável.)
Passo 4
Agora vou calcular passo a passo a integral (1) na ordem
:
Explicação do plano de ataque: integrar primeiro em
é simples porque o integrando é
; o resultado será a função que dá a “altura”
-máxima para cada
. Depois integraremos em
(uma integral de polinômio em
), e por fim em
.
Passo A — integral interna em
:
Comentário: integrar
em
dá simplesmente a largura/altura do intervalo em
.
Passo B — integrar em
:
É conveniente fatorar
:
Calcule a primitiva: a primitiva de
em
é
; a primitiva de
é
. Portanto
Agora avalia em
. Note que
. Então
Substituindo:
Portanto depois da integração em
ficamos com a função de
:
Passo C — integrar em
:
Expandir ou usar substituição: é simples expandir
. Assim
Avaliar em
e em
:
Interpretando: o volume do tetraedro é
. (Esse resultado também pode ser obtido pela fórmula do volume de um tetraedro com interceptos
nos eixos:
. Aqui
,
,
, logo
.)
Passo 5
Recapitulando de forma motivadora: conseguimos escrever as seis integrais correspondentes a todas as ordens possíveis e calcular uma delas passo a passo; o volume dá
. Se estiver nervoso para a prova, lembra: identificar interceptos e isolar a variável interna costuma ser a parte chave — depois é cálculo direto. Força, você consegue!
Resposta
Volume