Escreva o vetor \vec{u}=(-1,-2,1) como combinação linear dos vetores \overrightarrow{v_{1}}=\left(2, \frac{1}{2}, 2\right), \overrightarrow{v_{2}}= (-3,2,0) e \overrightarrow{v_{3}}=(2,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede que escrevamos o vetor \vec{u}=(-1,-2,1) como combinação linear dos vetores
\overrightarrow{v_{1}}=\left(2, \tfrac{1}{2}, 2\right), \overrightarrow{v_{2}}=(-3,2,0) e \overrightarrow{v_{3}}=(2,-1,1).
As informações que temos são os três vetores e o vetor alvo. A pergunta é: quais escalares x,y,z existem tais que
x\,\overrightarrow{v_{1}}+y\,\overrightarrow{v_{2}}+z\,\overrightarrow{v_{3}}=\vec{u} ?
No resto da resolução vou chamar os escalares de x,y,z.

Passo 2

Transformando a combinação linear em sistema de equações (componentes correspondentes devem coincidir). Escrevendo componente a componente:
  • Componente 1 (primeira coordenada):
2x-3y+2z=-1.
  • Componente 2 (segunda coordenada):
\tfrac{1}{2}x+2y- z=-2.
  • Componente 3 (terceira coordenada):
2x+0\cdot y+1\cdot z=1,
ou mais simplesmente
2x+z=1.
Esse é o sistema linear que iremos resolver.
Pequena explicação didática: igualar componentes significa que a combinação linear atua em cada coordenada. Cada equação envolve os mesmos incógnitas x,y,z porque cada vetor contribui para todas as coordenadas com seus respectivos coeficientes.

Passo 3

Começo resolvendo o sistema por substituição (método simples e direto): a equação mais simples é \;2x+z=1\;. Isolo z:
z=1-2x.
Isso nos dá z em função de x. Depois substituiremos essa expressão nas outras duas equações para eliminar z.
Breve explicação: isolar uma incógnita numa equação simples facilita reduzir o sistema para duas equações com duas incógnitas, que é bem mais rápido de resolver manualmente na prova.

Passo 4

Substituo z=1-2x na equação da primeira componente \;2x-3y+2z=-1\;:
2x-3y+2(1-2x)=-1.
Desenvolvendo:
2x-3y+2-4x=-1.
Reunindo termos semelhantes (os de x):
-2x-3y+2=-1.
Passo o 2 para o outro lado:
-2x-3y=-3.
Multiplicando por -1 para ficar positivo em x:
2x+3y=3.
Chamo essa equação de (A).
Agora substituo z=1-2x na equação da segunda componente \;\tfrac{1}{2}x+2y-z=-2\;:
\tfrac{1}{2}x+2y-(1-2x)=-2.
Desenvolvendo o parêntese:
\tfrac{1}{2}x+2y-1+2x=-2.
Somando os termos em x: \tfrac{1}{2}x+2x=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{4}{2}x=\tfrac{5}{2}x. Assim:
\tfrac{5}{2}x+2y-1=-2.
Isolando o lado com constantes:
\tfrac{5}{2}x+2y=-1.
Multiplicando toda a equação por 2 para eliminar o denominador:
5x+4y=-2.
Chamo essa equação de (B).
Agora reduzimos o problema a resolver o sistema de duas equações lineares:
\begin{cases} 2x+3y=3 &\text{(A)}\\[4pt] 5x+4y=-2 &\text{(B)} \end{cases}]

Passo 5

Vamos resolver o sistema de duas equações por eliminação. Multiplico (A) por 4 e (B) por -3 para eliminar y ao somar:
Multiplicando (A) por 4:
8x+12y=12.
Multiplicando (B) por -3:
-15x-12y=6.
Somando as duas equações:
(8x-15x)+(12y-12y)=12+6,
ou seja
-7x=18.
Portanto
x=\tfrac{18}{-7}=-\tfrac{18}{7}.
Breve comentário didático: a eliminação consiste em combinar equações de modo que uma incógnita desapareça; escolhemos coeficientes que tornam os termos em y opostos para somarem zero, ficando só x.

Passo 6

Com x=-\tfrac{18}{7} vamos achar y usando (A): 2x+3y=3.
Substituindo x:
2\!\left(-\tfrac{18}{7}\right)+3y=3.
Calcule 2\cdot(-\tfrac{18}{7})=-\tfrac{36}{7}. Então
-\tfrac{36}{7}+3y=3.
Passo o termo para o outro lado:
3y=3+\tfrac{36}{7}.
Escrevendo 3 como \tfrac{21}{7}:
3y=\tfrac{21}{7}+\tfrac{36}{7}=\tfrac{57}{7}.
Logo
y=\tfrac{57}{7}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{57}{21}=\tfrac{19}{7}.

Passo 7

Agora calculo z usando a relação que obtivemos no Passo 3: z=1-2x.
Substituindo x=-\tfrac{18}{7}:
z=1-2\!\left(-\tfrac{18}{7}\right)=1+\tfrac{36}{7}.
Escrevendo 1 como \tfrac{7}{7}:
z=\tfrac{7}{7}+\tfrac{36}{7}=\tfrac{43}{7}.

Passo 8

Verificação rápida (checar sempre na prova): substituo x,y,z nas três equações originais para confirmar.
Primeira coordenada:
2x-3y+2z=2\!\left(-\tfrac{18}{7}\right)-3\!\left(\tfrac{19}{7}\right)+2\!\left(\tfrac{43}{7}\right)=\tfrac{-36-57+86}{7}=\tfrac{-7}{7}=-1.
Segunda coordenada:
\tfrac{1}{2}x+2y-z=\tfrac{1}{2}\!\left(-\tfrac{18}{7}\right)+2\!\left(\tfrac{19}{7}\right)-\tfrac{43}{7}=\tfrac{-9+38-43}{7}=\tfrac{-14}{7}=-2.
Terceira coordenada:
2x+z=2\!\left(-\tfrac{18}{7}\right)+\tfrac{43}{7}=\tfrac{-36+43}{7}=\tfrac{7}{7}=1.
As três coordenadas coincidem com \vec{u}=(-1,-2,1), então os valores encontrados estão corretos.

Resposta

\vec{u}=-\tfrac{18}{7}\,\overrightarrow{v_{1}}+\tfrac{19}{7}\,\overrightarrow{v_{2}}+\tfrac{43}{7}\,\overrightarrow{v_{3}}

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