O estado fundamental do átomo de Hélio tem uma energia de 24,6 \mathrm{eV} abaixo do nível do sistema ionizado \mathrm{He}^{+}+e. Calcule a energia necessária para criar o sistema duplamente ionizado \mathrm{He}^{++}+2 e. (Sugestão: Note que o sistema \mathrm{He}^{+}+e é um átomo monoeletrônico de número atômico \mathrm{Z}=2 ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa simples de identificar:
  • Informação dada: o estado fundamental do átomo de Hélio tem energia 24,6\\ \mathrm{eV} abaixo do nível do sistema ionizado \mathrm{He}^{+}+e. Em outras palavras, a energia necessária para passar de \mathrm{He} (neutro) para \mathrm{He}^{+}+e é 24,6\\ \mathrm{eV}.
  • Informação dada (sugestão): o sistema \mathrm{He}^{+}+e é um átomo monoeletrônico com número atômico Z=2.
  • O que pede o enunciado: calcular a energia necessária para criar o sistema duplamente ionizado \mathrm{He}^{++}+2e a partir do átomo neutro \mathrm{He}. Ou seja, qual a energia total que deve ser fornecida para remover os dois elétrons do átomo de Hélio.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): para um átomo monoeletrônico (um só elétron) com carga nuclear Z — isto é, um íon hidrogenoide — os níveis de energia do elétron são dados pela fórmula (energia medida em relação ao elétron e núcleo totalmente separados)
E_n = -13,6\\ \mathrm{eV}\,\frac{Z^{2}}{n^{2}},
onde:
  • E_n é a energia do elétron no nível principal n (para n=1,2,\dots);
  • 13,6\\ \mathrm{eV} é a energia de ligação do elétron fundamental do hidrogênio (constante conhecida, vem do modelo de Bohr / constante de Rydberg);
  • Z é o número atômico (carga do núcleo em unidades de carga elementar);
  • n é o número quântico principal (nível eletrônico).
Explicando em palavras: a fórmula diz quanto “preso” o elétron está ao núcleo. Para o hidrogênio ( Z=1) o nível fundamental vale -13,6\\ \mathrm{eV}. Para um núcleo com mais carga Z, a atração é maior e a energia (em módulo) cresce como Z^{2}.

Passo 3

Aplicação ao segundo elétron (ionização de \mathrm{He}^{+}): o íon \mathrm{He}^{+} é exatamente um átomo monoeletrônico com Z=2. Para o estado fundamental temos n=1, logo a energia do elétron em \mathrm{He}^{+} é
E_{1}(\mathrm{He}^{+}) = -13,6\\ \mathrm{eV}\,\frac{2^{2}}{1^{2}} = -13,6\\ \mathrm{eV}\times 4 = -54,4\\ \mathrm{eV}.
Interpretação: isso significa que, medido em relação ao sistema \mathrm{He}^{++}+e (núcleo completamente separado e elétron livre), o elétron ligado em \mathrm{He}^{+} tem energia -54,4\\ \mathrm{eV}. Portanto, a energia necessária para remover esse elétron (ou seja, a segunda energia de ionização, que transforma \mathrm{He}^{+}+e em \mathrm{He}^{++}+2e) tem magnitude 54,4\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Juntando as etapas: para ir de \mathrm{He} (neutro) até \mathrm{He}^{++}+2e a energia total a fornecer é a soma das energias necessárias em cada etapa sequencial:
  • primeira etapa (dada): \mathrm{He}\to \mathrm{He}^{+}+e requer 24,6\\ \mathrm{eV};
  • segunda etapa (calculada): \mathrm{He}^{+}\to \mathrm{He}^{++}+e requer 54,4\\ \mathrm{eV}.
Somando:
24,6\\ \mathrm{eV} + 54,4\\ \mathrm{eV} = 79,0\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Interpretação final curta e dica de prova: o total de 79,0\\ \mathrm{eV} é simplesmente a soma das energias de ionização sequenciais. Uma forma rápida em provas é lembrar que a segunda ionização de hélio é a energia de ligação do estado fundamental de \mathrm{He}^{+}, que é -13,6\times 2^{2}=-54,4\\ \mathrm{eV}, e então somar com a primeira ionização que o enunciado deu.

Resposta

79,0\\ \mathrm{eV}

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