Estime a aceleração da Lua em direção à Terra, sabendo que ela orbita em 28 dias a uma distância de um quarto de milhão de milhas.

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede uma coisa:
  • Dado: período orbital da Lua T = 28 dias.
  • Dado: distância média Terra–Lua r = 250\,000 milhas (um quarto de milhão de milhas).
  • Pedido: estimar a aceleração da Lua em direção à Terra (ou seja, a aceleração centrípeta que mantém a Lua em órbita).

Passo 2

Qual fórmula usar? Quando um corpo descreve uma órbita aproximadamente circular, a aceleração para o centro (aceleração centrípeta) é dada por
a=\frac{v^{2}}{r},
onde:
  • a é a aceleração centrípeta (unidade: \mathrm{m/s^{2}}),
  • v é a velocidade tangencial da órbita (unidade: \mathrm{m/s}),
  • r é o raio da órbita (unidade: \mathrm{m}).
A velocidade tangencial pode ser expressa em função do período T pela relação da circunferência:
v=\frac{2\pi r}{T}.
Substituindo em a=v^{2}/r obtemos a fórmula prática que vamos usar:
a=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}.
Aqui cada variável significa:
  • r: raio da órbita (distância média Terra–Lua),
  • T: período orbital em segundos,
  • \pi: a constante 3,14159…

Passo 3

Converter unidades para o sistema internacional (SI), porque a fórmula dá a em \mathrm{m/s^{2}} se usarmos metros e segundos.
Converter r de milhas para metros. A relação é 1 milha =1609{,}344 metros. Assim
r = 250{,}000\\ \text{milhas}\times 1609{,}344\\ \frac{\mathrm{m}}{\text{milha}} =402{,}336{,}000\\ \mathrm{m}.
Converter T de dias para segundos. 1 dia =86400 s, então
T=28\\ \text{dias}\times 86400\\ \frac{\mathrm{s}}{\text{dia}}=2{,}419{,}200\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular com as potências e valores numéricos. É conveniente usar notação científica para clareza:
r=4{,}02336\times10^{8}\\ \mathrm{m},\qquad T=2{,}4192\times10^{6}\\ \mathrm{s}.
Calcular T^{2}:
T^{2}=(2{,}4192\times10^{6})^{2}=5{,}85252864\times10^{12}\\ \mathrm{s^{2}}.
Calcular o numerador 4\pi^{2}r. Como 4\pi^{2}\approx39{,}4784176,
4\pi^{2}r\approx 39{,}4784176\times 4{,}02336\times10^{8} \approx 1{,}58835886\times10^{10}.

Passo 5

Agora dividir para obter a:
a=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}} \approx\frac{1{,}58835886\times10^{10}}{5{,}85252864\times10^{12}} \approx 2{,}715\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando de forma razoável, podemos escrever
a\approx 2{,}7\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Interpretando o resultado em unidades mais intuitivas:
  • Em \mathrm{mm/s^{2}}: a\approx 2{,}7\\ \mathrm{mm/s^{2}} (pois 1\\ \mathrm{mm/s^{2}}=10^{-3}\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  • Como fração da gravidade g (usando g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}):
\frac{a}{g}\approx\frac{2{,}7\times10^{-3}}{9{,}8}\approx 2{,}8\times10^{-4},
ou seja, cerca de 0{,}028\% de g.
Força motivadora: esse valor é pequeno (milésimos de \mathrm{m/s^{2}}), mas suficiente para manter a Lua em órbita a essa grande distância — não é preciso uma aceleração enorme quando o raio da órbita é enorme. Você conseguiu acompanhar bem; é só aplicar a fórmula e cuidar das unidades.

Resposta

2{,}7\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s^{2}}
2{,}7\\ \mathrm{mm/s^{2}}
2{,}8\times10^{-4}\,g

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