Estime a distância entre dois objetos no planeta Marte que mal podem ser resolvidos em condições ideais por um observador na Terra a olho nu. Use os seguintes dados: distância entre Marte e a Terra:
; diâmetro da pupila: 5 mm ; comprimento de onda da luz: 550 nm .
Passo 1
O que o enunciado pede: estimar a distância mínima entre dois objetos sobre Marte que um observador na Terra, a olho nu e em condições ideais, conseguiria distinguir como dois objetos separados.
Dados fornecidos:
- distância entre Marte e a Terra:
; - diâmetro da pupila do olho:
; - comprimento de onda da luz (luz visível):
.
O objetivo quantitativo: calcular a separação linear mínima
entre dois pontos em Marte que corresponde à menor separação angular resolvível pelo olho humano nas condições ideais dadas.
Passo 2
Escolha do critério de resolução (ideia usada): em condições ideais (isto é, sem distúrbios atmosféricos, com olho perfeito) o limite de resolução é dado pela difração através da pupila circular. O critério tradicional para um disco circular é o critério de Rayleigh, cuja fórmula é
onde:
-
é a menor separação angular resolvível (em radianos), -
é o comprimento de onda da luz (em metros), -
é o diâmetro da abertura circular (a pupila, em metros), - o fator
vem da posição do primeiro mínimo do padrão de difração (disco de Airy) de uma abertura circular.
Explicando de forma simples: a luz que entra pela pupila não se concentra num ponto perfeito por causa da difração; o padrão tem um anel escuro que limita a capacidade de distinguir dois pontos próximos. O critério de Rayleigh diz que dois pontos são “separáveis” quando o máximo de um cai sobre o primeiro mínimo do outro, daí o
.
Passo 3
Converter todas as quantidades para unidades do SI (metros) antes de calcular.
- Converter o diâmetro da pupila:
- Converter o comprimento de onda:
- Converter a distância Terra–Marte para metros (para obter a separação linear em metros):
Passo 4
Calcular a resolução angular
usando a fórmula de Rayleigh. Substituindo os valores:
Fazendo a divisão dentro da fração:
Multiplicando por
:
Para termos uma intuição, em segundos de arco (
):
(Isto significa cerca de
segundos de arco.)
Passo 5
Converter a resolução angular em separação linear
na superfície (ou plano) em Marte usando a aproximação para pequenas separações:
Substituindo
e
:
Multiplicando os números:
Converter para quilômetros:
Passo 6
Interpretação e comentários práticos (didático e motivador):
- O resultado diz que, nas condições ideais (apenas limite de difração da pupila), dois pontos em Marte precisam estar separados por algo da ordem de
para serem distinguidos a olho nu desde a Terra. Isso é enorme — maior que o diâmetro de Marte (que é cerca de ). Ou seja, pelo olho nu não se consegue ver detalhes na superfície de Marte; só se distinguem objetos separados por distâncias comparáveis ao tamanho do próprio planeta. - Nota sobre simplificações: este cálculo assume condições ideais (pupila perfeitamente circular, atmosfera perfeitamente transparente e sem turbulência, observador com visão ideal). Na prática, a turbulência atmosférica e imperfeições do olho aumentam ainda mais o menor ângulo resolvível (ou seja, a visão real é pior que este limite teórico).
- Conclusão motivadora: o cálculo é simples e nos mostra, de forma quantitativa, por que telescópios e instrumentos são necessários para ver detalhes em planetas — a difração da pupila limita tremendamente o que o olho humano pode resolver.