Estime a distância entre dois objetos no planeta Marte que mal podem ser resolvidos em condições ideais por um observador na Terra a olho nu. Use os seguintes dados: distância entre Marte e a Terra: 8,0 \times 10^{7} \mathrm{~km}; diâmetro da pupila: 5 mm ; comprimento de onda da luz: 550 nm .

Passo 1

O que o enunciado pede: estimar a distância mínima entre dois objetos sobre Marte que um observador na Terra, a olho nu e em condições ideais, conseguiria distinguir como dois objetos separados.
Dados fornecidos:
  • distância entre Marte e a Terra: \,R = 8,0\times10^{7}\\ \mathrm{km}\,;
  • diâmetro da pupila do olho: \,D = 5\\ \mathrm{mm}\,;
  • comprimento de onda da luz (luz visível): \,\lambda = 550\\ \mathrm{nm}\,.
O objetivo quantitativo: calcular a separação linear mínima s entre dois pontos em Marte que corresponde à menor separação angular resolvível pelo olho humano nas condições ideais dadas.

Passo 2

Escolha do critério de resolução (ideia usada): em condições ideais (isto é, sem distúrbios atmosféricos, com olho perfeito) o limite de resolução é dado pela difração através da pupila circular. O critério tradicional para um disco circular é o critério de Rayleigh, cuja fórmula é
\theta = 1,22\,\frac{\lambda}{D},
onde:
  • \theta é a menor separação angular resolvível (em radianos),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz (em metros),
  • D é o diâmetro da abertura circular (a pupila, em metros),
  • o fator 1,22 vem da posição do primeiro mínimo do padrão de difração (disco de Airy) de uma abertura circular.
Explicando de forma simples: a luz que entra pela pupila não se concentra num ponto perfeito por causa da difração; o padrão tem um anel escuro que limita a capacidade de distinguir dois pontos próximos. O critério de Rayleigh diz que dois pontos são “separáveis” quando o máximo de um cai sobre o primeiro mínimo do outro, daí o 1,22.

Passo 3

Converter todas as quantidades para unidades do SI (metros) antes de calcular.
  • Converter o diâmetro da pupila:
D = 5\\ \mathrm{mm} = 5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Converter o comprimento de onda:
\lambda = 550\\ \mathrm{nm} = 550\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5,50\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Converter a distância Terra–Marte para metros (para obter a separação linear em metros):
R = 8,0\times10^{7}\\ \mathrm{km} = 8,0\times10^{7}\times10^{3}\\ \mathrm{m} = 8,0\times10^{10}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a resolução angular \theta usando a fórmula de Rayleigh. Substituindo os valores:
\theta = 1,22\,\frac{\lambda}{D} = 1,22\,\frac{5,50\times10^{-7}}{5,0\times10^{-3}}\\ \mathrm{rad}.
Fazendo a divisão dentro da fração:
\frac{5,50\times10^{-7}}{5,0\times10^{-3}} = \frac{5{,}50}{5{,}0}\times10^{-7-(-3)} = 1{,}10\times10^{-4}.
Multiplicando por 1,22:
\theta = 1{,}22\times1{,}10\times10^{-4} = 1{,}342\times10^{-4}\\ \mathrm{rad}.
Para termos uma intuição, em segundos de arco ( 1\\ \mathrm{rad}\approx206\,265''):
\theta \approx 1{,}342\times10^{-4}\times206\,265 \approx 27{,}7^{\prime\prime}.
(Isto significa cerca de 27{,}7 segundos de arco.)

Passo 5

Converter a resolução angular em separação linear s na superfície (ou plano) em Marte usando a aproximação para pequenas separações:
s \approx R\,\theta.
Substituindo R e \theta:
s = 8{,}0\times10^{10}\times1{,}342\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Multiplicando os números:
s = (8{,}0\times1{,}342)\times10^{10-4}\\ \mathrm{m} = 10{,}736\times10^{6}\\ \mathrm{m} = 1{,}0736\times10^{7}\\ \mathrm{m}.
Converter para quilômetros:
s = 1{,}0736\times10^{7}\\ \mathrm{m} = 1{,}0736\times10^{4}\\ \mathrm{km} \approx 1{,}07\times10^{4}\\ \mathrm{km}.

Passo 6

Interpretação e comentários práticos (didático e motivador):
  • O resultado diz que, nas condições ideais (apenas limite de difração da pupila), dois pontos em Marte precisam estar separados por algo da ordem de \,10^{4}\\ \mathrm{km}\, para serem distinguidos a olho nu desde a Terra. Isso é enorme — maior que o diâmetro de Marte (que é cerca de \,6{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{km}\,). Ou seja, pelo olho nu não se consegue ver detalhes na superfície de Marte; só se distinguem objetos separados por distâncias comparáveis ao tamanho do próprio planeta.
  • Nota sobre simplificações: este cálculo assume condições ideais (pupila perfeitamente circular, atmosfera perfeitamente transparente e sem turbulência, observador com visão ideal). Na prática, a turbulência atmosférica e imperfeições do olho aumentam ainda mais o menor ângulo resolvível (ou seja, a visão real é pior que este limite teórico).
  • Conclusão motivadora: o cálculo é simples e nos mostra, de forma quantitativa, por que telescópios e instrumentos são necessários para ver detalhes em planetas — a difração da pupila limita tremendamente o que o olho humano pode resolver.

Resposta

1,07\times10^{4}\\ \mathrm{km}

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