Estou ultrapassando um trem de 800 m de comprimento que se move a 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, enquanto meu carro se move a 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na mesma direção.
(i) Quanto tempo levo para ultrapassá-lo?
(ii) E se eu estiver me movendo na direção oposta?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • comprimento do trem L=800\\ \text{m};
  • velocidade do trem v_{\text{trem}}=20\\ \text{m/s};
  • velocidade do carro v_{\text{carro}}=30\\ \text{m/s}.
O enunciado pede duas coisas:
(i) quanto tempo levo para ultrapassar o trem quando meu carro e o trem seguem na mesma direção;
(ii) quanto tempo levo para ultrapassar o trem quando meu carro vai na direção oposta ao do trem.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): para calcular o tempo de ultrapassagem, trabalhamos no referencial do trem ou do carro usando a velocidade relativa entre os dois. A ideia é que, do ponto de vista do carro, o trem se aproxima ou se afasta com uma velocidade igual à diferença (ou soma) das velocidades, dependendo do sentido.
Definições claras das variáveis:
  • L é a distância que precisa ser vencida, aqui é o comprimento do trem;
  • v_{\text{carro}} é a velocidade do carro;
  • v_{\text{trem}} é a velocidade do trem;
  • v_r é a velocidade relativa entre carro e trem (a velocidade do trem vista do carro ou vice-versa);
  • t é o tempo de ultrapassagem que queremos achar.

Passo 3

Formulação geral (fórmula e porquê): se as velocidades são constantes, o tempo necessário para o carro “completar” a ultrapassagem é a razão entre a distância relativa a ser vencida e a velocidade relativa. Escrevendo:
t=\frac{L}{v_r}
Explicação intuitiva: supondo que o carro tenha comprimento desprezível, para ficar totalmente à frente do trem a diferença de posição deve aumentar em L; isso ocorre à taxa v_r, portanto demora L/v_r.

Passo 4

Caso (i) — mesmas direções. Aqui as velocidades relativas se combinam por diferença porque ambos se movem no mesmo sentido. Assim:
v_r=v_{\text{carro}}-v_{\text{trem}}
Substituindo os valores:
v_r=30-20=10\\ \text{m/s}
Agora aplicando a fórmula do passo anterior:
t=\frac{L}{v_r}=\frac{800}{10}=80\\ \text{s}
Comentário amigo: deu 80 segundos — bastante tempo, porque a diferença de velocidade é só 10\\ \text{m/s}.

Passo 5

Caso (ii) — sentidos opostos. Agora as velocidades relativas se somam, porque um se aproxima do outro mais rápido:
v_r=v_{\text{carro}}+v_{\text{trem}}
Substituindo:
v_r=30+20=50\\ \text{m/s}
Aplicando a fórmula:
t=\frac{L}{v_r}=\frac{800}{50}=16\\ \text{s}
Comentário amigo: bem mais rápido — com sentidos opostos a taxa relativa é maior e leva menos tempo.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (resumindo e evitando erros comuns):
  • sempre use unidades consistentes (aqui já estão em metros e segundos, ótimo);
  • verifique se deve somar ou subtrair velocidades: mesmo sentido → diferença; sentidos opostos → soma;
  • se o carro tiver comprimento não desprezível, a distância a vencer passa a ser L_{\text{trem}}+L_{\text{carro}};
  • escreva a fórmula t=L/v_r e substitua com calma — faz menos erro.

Resposta

(i) 80\\ \text{s}
(ii) 16\\ \text{s}

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