Estude a função dada com relação a máximos e mínimos no conjunto dado.
(a) f(x, y)=3 x-y \quad \mathrm{e}
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x \geq 0, y \geq 0, y-x \leq 3, x+y \leq 4\right. e \left.3 x+y \leq 6\right\} ;

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados:
  • Pede estudar a função f(x,y)=3x-y quanto a máximos e mínimos no conjunto
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; y-x\le 3,\; x+y\le 4,\; 3x+y\le 6\}.
  • Pergunta: qual é o(s) ponto(s) de máximo e de mínimo de f em A e quais são os valores extremos de f.
  • Informações relevantes dadas: as cinco desigualdades definem um conjunto convexo limitado (polígono) em \mathbb{R}^2: x\ge0, y\ge0, y\le x+3, y\le 4-x, y\le 6-3x.

Passo 2

Escolha do método e intuição (explicação didática, leve e sem pular etapas):
  • Como f(x,y)=3x-y é uma função linear, suas retas de nível são retas do tipo 3x-y=c. Ao deslocar essas retas para cima/baixo, o máximo e o mínimo sobre um polígono convexo ocorrem sempre em vértices desse polígono (pense: uma reta tangencia o polígono num vértice quando o valor é extremo).
  • Portanto, basta determinar os vértices do conjunto A (interseções das fronteiras ativas) e avaliar f nesses vértices. Não é preciso procurar extremos no interior porque uma função linear não tem extremos estritos no interior de um conjunto convexo — o valor no interior é intermediário entre os valores nos vértices.

Passo 3

Reescrever as restrições de forma conveniente e identificar as retas que podem formar vértices:
  • As desigualdades equivalem a
x\ge 0,\quad y\ge 0,
y\le x+3,\quad y\le 4-x,\quad y\le 6-3x.
  • As retas importantes são:
    • y=x+3,
    • y=4-x,
    • y=6-3x,
    • os eixos x=0 e y=0.
  • Vértices possíveis são interseções de pares dessas retas (ou interseções com os eixos). Vamos calcular cada interseção relevante e verificar se está no conjunto A.

Passo 4

Calcular interseção entre y=x+3 e x+y=4 (ou seja y=4-x):
x+(x+3)=4 \quad\Rightarrow\quad 2x+3=4 \quad\Rightarrow\quad 2x=1 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
Logo
y=x+3=\tfrac{1}{2}+3=\tfrac{7}{2}.
Ponto: \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{7}{2}\right). Verificação rápida das outras desigualdades:
3x+y=3\cdot\tfrac{1}{2}+\tfrac{7}{2}=\tfrac{3}{2}+\tfrac{7}{2}=\tfrac{10}{2}=5\le 6,
portanto este ponto é viável. Então \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{7}{2}\right) é um vértice do polígono factível.

Passo 5

Calcular interseção entre y=4-x e y=6-3x:
4-x=6-3x \quad\Rightarrow\quad -x+3x=6-4 \quad\Rightarrow\quad 2x=2 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Então
y=4-x=4-1=3.
Ponto: (1,3). Verificação das outras restrições:
y-x=3-1=2\le 3,\quad x\ge0,\;y\ge0,
logo (1,3) é viável e é um vértice.

Passo 6

Calcular interseção entre y=x+3 e y=6-3x:
x+3=6-3x \quad\Rightarrow\quad 4x=3 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{3}{4}.
Então
y=x+3=\tfrac{3}{4}+3=\tfrac{15}{4}.
Ponto: \left(\tfrac{3}{4},\tfrac{15}{4}\right). Verificação da desigualdade x+y\le4:
x+y=\tfrac{3}{4}+\tfrac{15}{4}=\tfrac{18}{4}=\tfrac{9}{2}=4{,}5>4,
portanto este ponto não pertence a A (é cortado pela restrição x+y\le4). Não é vértice do conjunto factível.

Passo 7

Interseções com os eixos:
  • Interseção de x=0 com y=x+3: x=0\Rightarrow y=3. Ponto (0,3).
    Verificar: 0+3\le4 e 3\le 6, então (0,3) é viável (vértice).
  • Interseção de x=0 com y=4-x é (0,4), mas y\le x+3 4\le 3 falso, então (0,4) não é viável.
  • Interseção de y=0 com y=6-3x: 0=6-3x\Rightarrow x=2. Ponto (2,0).
    Verificação: 2+0\le4 e 0-2\le3 verdadeiras; assim (2,0) é viável.
  • Interseção de x=0 com y=0 é (0,0), que satisfaz todas as desigualdades, logo também é vértice (onde as duas restrições x\ge0 e y\ge0 se encontram).

Passo 8

Resumo dos vértices do conjunto A encontrados (ordenados aproximadamente no sentido anti-horário):
(0,0),\quad (2,0),\quad (1,3),\quad \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{7}{2}\right),\quad (0,3).
Observação: outras interseções das retas existem, mas foram descartadas por violarem alguma desigualdade. O conjunto é um polígono convexo com esses vértices.

Passo 9

Avaliar f(x,y)=3x-y em cada vértice (contando passo a passo):
  • Em (0,0):
f(0,0)=3\cdot 0-0=0.
  • Em (2,0):
f(2,0)=3\cdot 2-0=6.
  • Em (1,3):
f(1,3)=3\cdot 1-3=0.
  • Em \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{7}{2}\right):
f\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{7}{2}\right)=3\cdot\tfrac{1}{2}-\tfrac{7}{2}=\tfrac{3}{2}-\tfrac{7}{2}=-\tfrac{4}{2}=-2.
  • Em (0,3):
f(0,3)=3\cdot 0-3=-3.

Passo 10

Conclusão (interpretação dos valores):
  • Comparando os valores calculados, o maior valor de f entre os vértices é 6 em (2,0).
  • O menor valor de f entre os vértices é -3 em (0,3).
  • Como f é linear e A é convexo e compacto, esses são, respectivamente, o máximo e o mínimo globais de f em A.

Resposta

Máximo: 6 em (2,0)
Mínimo: -3 em (0,3)

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