Estude a função dada com relação a máximos e mínimos no conjunto dado.
(a)
e
(a)
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados:
- Pede estudar a função
quanto a máximos e mínimos no conjunto
- Pergunta: qual é o(s) ponto(s) de máximo e de mínimo de
em e quais são os valores extremos de . - Informações relevantes dadas: as cinco desigualdades definem um conjunto convexo limitado (polígono) em
: , , , , .
Passo 2
Escolha do método e intuição (explicação didática, leve e sem pular etapas):
- Como
é uma função linear, suas retas de nível são retas do tipo . Ao deslocar essas retas para cima/baixo, o máximo e o mínimo sobre um polígono convexo ocorrem sempre em vértices desse polígono (pense: uma reta tangencia o polígono num vértice quando o valor é extremo). - Portanto, basta determinar os vértices do conjunto
(interseções das fronteiras ativas) e avaliar nesses vértices. Não é preciso procurar extremos no interior porque uma função linear não tem extremos estritos no interior de um conjunto convexo — o valor no interior é intermediário entre os valores nos vértices.
Passo 3
Reescrever as restrições de forma conveniente e identificar as retas que podem formar vértices:
- As desigualdades equivalem a
- As retas importantes são:
-
, -
, -
, - os eixos
e .
-
- Vértices possíveis são interseções de pares dessas retas (ou interseções com os eixos). Vamos calcular cada interseção relevante e verificar se está no conjunto
.
Passo 4
Calcular interseção entre
e
(ou seja
):
Logo
Ponto:
. Verificação rápida das outras desigualdades:
portanto este ponto é viável. Então
é um vértice do polígono factível.
Passo 5
Calcular interseção entre
e
:
Então
Ponto:
. Verificação das outras restrições:
logo
é viável e é um vértice.
Passo 6
Calcular interseção entre
e
:
Então
Ponto:
. Verificação da desigualdade
:
portanto este ponto não pertence a
(é cortado pela restrição
). Não é vértice do conjunto factível.
Passo 7
Interseções com os eixos:
- Interseção de
com : . Ponto .
Verificar:e , então é viável (vértice). - Interseção de
com é , mas dá falso, então não é viável. - Interseção de
com : . Ponto .
Verificação:e verdadeiras; assim é viável. - Interseção de
com é , que satisfaz todas as desigualdades, logo também é vértice (onde as duas restrições e se encontram).
Passo 8
Resumo dos vértices do conjunto
encontrados (ordenados aproximadamente no sentido anti-horário):
Observação: outras interseções das retas existem, mas foram descartadas por violarem alguma desigualdade. O conjunto é um polígono convexo com esses vértices.
Passo 9
Avaliar
em cada vértice (contando passo a passo):
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 10
Conclusão (interpretação dos valores):
- Comparando os valores calculados, o maior valor de
entre os vértices é em . - O menor valor de
entre os vértices é em . - Como
é linear e é convexo e compacto, esses são, respectivamente, o máximo e o mínimo globais de em .
Resposta
Máximo:
em
Mínimo: em
Mínimo: