Estude a função dada com relação a máximos e mínimos no conjunto dado.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e o conjunto
O que é pedido: estudar máximos e mínimos de
restrita ao conjunto
— isto é, encontrar os pontos de
onde
atinge valor máximo e valor mínimo e quais são esses valores.
Informações geométricas úteis (tiradas do enunciado):
- As desigualdades
e e a reta formam um triângulo fechado e limitado em primeiro quadrante. - Os vértices desse triângulo são as interseções das restrições:
- interseção de
com : ; - interseção de
com : ; - interseção de
com : .
- interseção de
Passo 2
Plano de resolução (passos que vou executar; método escolhido):
- Justificar que extremos existem:
é contínua e é compacto (fechado e limitado), logo extremos absolutos existem (Teorema do valor extremo). - Procurar pontos críticos no interior de
resolvendo . - Examinar as três arestas do triângulo (fronteira de
): a aresta sobre , a sobre e a sobre . Para cada aresta, reduzir o problema a uma função de uma variável e procurar extremos (derivada ou observação direta). - Comparar todos os valores obtidos para determinar máximo e mínimo globais.
Observação sobre escolha do método: usar substituição na reta
é mais direto que usar multiplicadores de Lagrange aqui, porque a restrição é linear e podemos escrever
em função de
facilmente.
Passo 3
Pontos críticos no interior de
.
- Calcular o gradiente de
:
- Resolver
leva ao sistema e . A solução é . - Verificar se
é interior de : não — é um vértice (está na fronteira). Portanto não há pontos críticos no interior aberto de . Ainda assim é candidato a extremo (avaliar posteriormente).
Breve explicação didática: pontos críticos do tipo
são onde a taxa de variação local em todas as direções é zero; mas em problemas com restrição em um conjunto fechado devemos também checar a fronteira, porque extremos podem ocorrer lá.
Passo 4
Analisar a aresta
(com
).
- Para
temos para todo no intervalo. Logo sobre essa aresta é constantemente . - Conclusão parcial: todos os pontos
com dão ; então é valor possível de mínimo.
Didática: quando uma aresta faz uma variável ser zero, a função produto
fica zero automaticamente — isso facilita muito.
Passo 5
Analisar a aresta
(com
).
- Para
temos para todo no intervalo. Assim, sobre essa aresta também vale constantemente . - Conclusão parcial: todos os pontos
com também dão .
Observação: já vimos duas arestas inteiras onde
vale
. Portanto
é um candidato forte a mínimo global (pois
em
porque
).
Passo 6
Analisar a aresta
com
.
- Substituir
. O domínio para vem das interseções: . - Função unidimensional na aresta:
- Derivada:
- Zerar a derivada para achar extremos internos:
- Checar que
pertence ao intervalo (sim). Avaliar segunda derivada ou sinal: , logo é um ponto de máximo local (concavidade para baixo). - Valor no ponto crítico:
- Coordenada
correspondente:
- Portanto o ponto da aresta que dá máximo local é
e o valor máximo nessa aresta é . - Também verificar endpoints da aresta: em
e obtemos e , já conhecidos.
Didática: reduzimos a função de duas variáveis a uma de uma variável pela substituição da restrição linear; então aplicamos cálculo básico de derivadas para achar máximo.
Passo 7
Comparar todos os candidatos e concluir extremos globais.
- Valores encontrados:
- Em toda a fronteira sobre os eixos (arestas
e ): . - No vértice
: . - Na aresta
: máximo local/global na aresta com valor ; nos extremos da aresta .
- Em toda a fronteira sobre os eixos (arestas
- Observação simples: para todo
tem-se e , logo . Assim é a menor possível. - Conclusão final:
- Valor mínimo global é
e é atingido em todos os pontos de que têm ou ; explicitamente no conjunto (incluindo os vértices ). - Valor máximo global é
e é atingido unicamente em .
- Valor mínimo global é
Resposta
Máximo global:
em
.
Mínimo global:
em todos os pontos com
(e
) ou
(e
).