Em um estudo de cinética química realizado em um laboratório de pesquisa experimental, os pesquisadores avaliaram a estabilidade e a eficiência de determinadas reações conduzidas sob condições controladas. Durante a análise dos resultados, observou-se que parte dos experimentos apresentava problemas associados ao processo reacional e à instrumentação utilizada nas medições.
Verificou-se que
dos experimentos produziram subprodutos indesejados, comprometendo o rendimento esperado da reação principal. Além disso,
apresentaram falhas na leitura espectrofotométrica utilizada para monitorar a evolução da reação. Em alguns casos, ambos os problemas ocorreram simultaneamente, correspondendo a
dos experimentos analisados.
Os pesquisadores também acompanharam o funcionamento do sistema de aquecimento dos reatores laboratoriais. Historicamente, o número de falhas nesse sistema apresenta média de 5 ocorrências por mês. Adicionalmente, o tempo necessário para que as reações atinjam o equilíbrio químico pode ser modelado por uma distribuição normal, com média de 35 minutos e desvio padrão de 5 minutos.
Com base nessas informações, considere uma sequência de 8 experimentos independentes realizados nesse laboratório.
Qual a probabilidade de exatamente 3 dos 8 experimentos apresentarem formação de subprodutos?
Qual a probabilidade de exatamente 3 dos 8 experimentos apresentarem formação de subprodutos?
Passo 1
Vou listar o que o enunciado nos dá e o que ele pede, ponto a ponto:
- Foi observado que
dos experimentos produziram subprodutos indesejados. Logo a probabilidade de um experimento qualquer apresentar subprodutos é . - Os experimentos são independentes e estamos considerando uma sequência de
experimentos. - O que pedem: a probabilidade de exatamente
dos experimentos apresentarem formação de subprodutos.
Passo 2
Qual é o modelo probabilístico adequado aqui e por quê?
- Cada experimento pode ser visto como um ensaio com dois resultados: “formou subproduto” (sucesso) com probabilidade
ou “não formou” com probabilidade . - Os ensaios são independentes e há um número fixo de ensaios
. - Isso é exatamente o cenário da distribuição binomial. Então definimos a variável aleatória
onde
conta o número de experimentos (entre os 8) que apresentam subprodutos.
Passo 3
Fórmula da probabilidade binomial (a qual vamos usar):
onde
-
é o número total de ensaios ( ), -
é o número de sucessos desejados ( ), -
é a probabilidade de sucesso em um ensaio ( ), -
é o coeficiente binomial que conta as maneiras de escolher quais ensaios são os que deram sucesso.
Passo 4
Calcular o coeficiente binomial
.
Passo 5
Calcular
. Faço em duas etapas:
Passo 6
Calcular
passo a passo:
Passo 7
Multiplicar as partes da fórmula:
Passo 8
Multiplicar pelo coeficiente binomial para obter
:
Arredondando de forma conveniente (quatro casas decimais) obtemos
, que em porcentagem é aproximadamente
.