Em um estudo de cinética química realizado em um laboratório de pesquisa experimental, os pesquisadores avaliaram a estabilidade e a eficiência de determinadas reações conduzidas sob condições controladas. Durante a análise dos resultados, observou-se que parte dos experimentos apresentava problemas associados ao processo reacional e à instrumentação utilizada nas medições.
Verificou-se que 22 \% dos experimentos produziram subprodutos indesejados, comprometendo o rendimento esperado da reação principal. Além disso, 16 \% apresentaram falhas na leitura espectrofotométrica utilizada para monitorar a evolução da reação. Em alguns casos, ambos os problemas ocorreram simultaneamente, correspondendo a 6 \% dos experimentos analisados.
Os pesquisadores também acompanharam o funcionamento do sistema de aquecimento dos reatores laboratoriais. Historicamente, o número de falhas nesse sistema apresenta média de 5 ocorrências por mês. Adicionalmente, o tempo necessário para que as reações atinjam o equilíbrio químico pode ser modelado por uma distribuição normal, com média de 35 minutos e desvio padrão de 5 minutos.
Com base nessas informações, considere uma sequência de 8 experimentos independentes realizados nesse laboratório.
Qual a probabilidade de exatamente 3 dos 8 experimentos apresentarem formação de subprodutos?

Passo 1

Vou listar o que o enunciado nos dá e o que ele pede, ponto a ponto:
  • Foi observado que 22\% dos experimentos produziram subprodutos indesejados. Logo a probabilidade de um experimento qualquer apresentar subprodutos é p=0,22.
  • Os experimentos são independentes e estamos considerando uma sequência de 8 experimentos.
  • O que pedem: a probabilidade de exatamente 3 dos 8 experimentos apresentarem formação de subprodutos.

Passo 2

Qual é o modelo probabilístico adequado aqui e por quê?
  • Cada experimento pode ser visto como um ensaio com dois resultados: “formou subproduto” (sucesso) com probabilidade p=0,22 ou “não formou” com probabilidade 1-p.
  • Os ensaios são independentes e há um número fixo de ensaios n=8.
  • Isso é exatamente o cenário da distribuição binomial. Então definimos a variável aleatória
X \sim \text{Binomial}(n=8,\;p=0,22),
onde X conta o número de experimentos (entre os 8) que apresentam subprodutos.

Passo 3

Fórmula da probabilidade binomial (a qual vamos usar):
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde
  • n é o número total de ensaios ( n=8),
  • k é o número de sucessos desejados ( k=3),
  • p é a probabilidade de sucesso em um ensaio ( p=0,22),
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial que conta as maneiras de escolher quais k ensaios são os que deram sucesso.

Passo 4

Calcular o coeficiente binomial \binom{8}{3}.
\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!\,5!}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56.

Passo 5

Calcular p^{3}=(0,22)^{3}. Faço em duas etapas:
(0,22)^{2}=0,22\cdot0,22=0,0484,
(0,22)^{3}=0,0484\cdot0,22=0,010648.

Passo 6

Calcular (1-p)^{5}=(0,78)^{5} passo a passo:
(0,78)^{2}=0,78\cdot0,78=0,6084,
(0,78)^{3}=0,6084\cdot0,78=0,474552,
(0,78)^{4}=0,474552\cdot0,78=0,37015056,
(0,78)^{5}=0,37015056\cdot0,78=0,2887174368.

Passo 7

Multiplicar as partes da fórmula:
p^{3}(1-p)^{5}=0,010648\cdot0,2887174368\approx0,0030742632670464.

Passo 8

Multiplicar pelo coeficiente binomial para obter P(X=3):
P(X=3)=56\cdot0,0030742632670464\approx0,1721587429545984.
Arredondando de forma conveniente (quatro casas decimais) obtemos 0,17216, que em porcentagem é aproximadamente 17,216\%.

Resposta

0,17216

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