Dê um exemplo de uma função contínua em 1 mas não contínua em -1 .

Passo 1

O enunciado pede um exemplo concreto de uma função que satisfaça duas coisas ao mesmo tempo:
  • seja contínua em -1 ? Não — na verdade, que seja contínua em \,1;
  • e que não seja contínua em -1.
Informações relevantes que temos de usar:
  • precisamos dar a fórmula da função;
  • depois mostrar, passo a passo, por que ela é contínua em \,1 e por que falha em ser contínua em -1.

Passo 2

Vou definir uma função simples e bastante usada nesses exemplos: a função quadrática modificada num ponto. Defino
f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \text{se } x\neq -1,\\[4pt] 0, & \text{se } x=-1. \end{cases}
Esta é a candidata. A ideia intuitiva é: fora do ponto -1 a função é exatamente x^{2} (que é contínua em todo lugar); no ponto -1 eu “mudo” o valor para 0, diferente do valor limite, produzindo uma descontinuidade em -1.]

Passo 3

Lembrete sobre o que significa ser contínuo em um ponto (aula rápida e prática):
  • Dizemos que f é contínua em um ponto a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isto significa duas coisas: (i) o limite \lim_{x\to a} f(x) existe e (ii) esse limite é igual ao valor que a função toma em a, isto é f(a).
  • Uma estratégia útil na prova: se f coincide com uma função conhecida como contínua em uma vizinhança de a, então f é contínua em a.

Passo 4

Provar que f é contínua em \,1.
Raciocínio informal: \,1\neq -1, logo existe uma pequena vizinhança de 1 que não contém -1. Nessa vizinhança a definição de f é simplesmente f(x)=x^{2}. Como a função polinomial x^{2} é contínua em todo ponto real, f será contínua em 1. Vou detalhar com um argumento \varepsilon- \delta curto, para ficar bem claro (útil para prova).
Queremos mostrar: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |x-1|<\delta, então |f(x)-f(1)|<\varepsilon.
Note que f(1)=1^{2}=1 e, para x com |x-1|<1, temos
|x+1| = |(x-1)+2| \le |x-1| + 2 < 3.
Agora
|f(x)-f(1)| = |x^{2}-1| = |x-1|\;|x+1| < |x-1|\cdot 3.
Se escolhermos
\delta = \min\!\left(1,\frac{\varepsilon}{3}\right),
então sempre que |x-1|<\delta teremos |f(x)-f(1)|<3|x-1| \le 3\delta \le \varepsilon. Isso prova que \lim_{x\to 1} f(x)=f(1), ou seja, f é contínua em 1.

Passo 5

Provar que f não é contínua em -1.
Calcule o limite quando x\to -1 restrito a pontos diferentes de -1. Para x\neq -1 temos f(x)=x^{2}, então
\lim_{x\to -1} f(x)=\lim_{x\to -1} x^{2}=(-1)^{2}=1.
Por outro lado, o valor da função no próprio ponto é f(-1)=0 (pela definição por partes). Logo
\lim_{x\to -1} f(x)=1 \neq 0 = f(-1).
Portanto a condição de continuidade \lim_{x\to -1} f(x)=f(-1) falha: o limite existe, mas não coincide com o valor da função. Conclusão: f não é contínua em -1.
Observação rápida (intuitiva): essa descontinuidade é do tipo “retirável” — se redefiníssemos f(-1)=1 em vez de 0, a função inteira viraria contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \text{se } x\neq -1,\\[4pt] 0, & \text{se } x=-1. \end{cases}]

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