Dê um exemplo de uma função contínua em 1 mas não contínua em -1 .
Passo 1
O enunciado pede um exemplo concreto de uma função que satisfaça duas coisas ao mesmo tempo:
- seja contínua em
? Não — na verdade, que seja contínua em ; - e que não seja contínua em
.
Informações relevantes que temos de usar:
- precisamos dar a fórmula da função;
- depois mostrar, passo a passo, por que ela é contínua em
e por que falha em ser contínua em .
Passo 2
Vou definir uma função simples e bastante usada nesses exemplos: a função quadrática modificada num ponto. Defino
Esta é a candidata. A ideia intuitiva é: fora do ponto
a função é exatamente
(que é contínua em todo lugar); no ponto
eu “mudo” o valor para
, diferente do valor limite, produzindo uma descontinuidade em
.]
Passo 3
Lembrete sobre o que significa ser contínuo em um ponto (aula rápida e prática):
- Dizemos que
é contínua em um ponto se e somente se
Isto significa duas coisas: (i) o limite
existe e (ii) esse limite é igual ao valor que a função toma em
, isto é
.
- Uma estratégia útil na prova: se
coincide com uma função conhecida como contínua em uma vizinhança de , então é contínua em .
Passo 4
Provar que
é contínua em
.
Raciocínio informal:
, logo existe uma pequena vizinhança de
que não contém
. Nessa vizinhança a definição de
é simplesmente
. Como a função polinomial
é contínua em todo ponto real,
será contínua em
. Vou detalhar com um argumento
-
curto, para ficar bem claro (útil para prova).
Queremos mostrar: para todo
existe
tal que, se
, então
.
Note que
e, para
com
, temos
Agora
Se escolhermos
então sempre que
teremos
. Isso prova que
, ou seja,
é contínua em
.
Passo 5
Provar que
não é contínua em
.
Calcule o limite quando
restrito a pontos diferentes de
. Para
temos
, então
Por outro lado, o valor da função no próprio ponto é
(pela definição por partes). Logo
Portanto a condição de continuidade
falha: o limite existe, mas não coincide com o valor da função. Conclusão:
não é contínua em
.
Observação rápida (intuitiva): essa descontinuidade é do tipo “retirável” — se redefiníssemos
em vez de
, a função inteira viraria contínua em todo
.