Exemplo: Prove que a sequência
\left\{\frac{n}{n^{2}+1}\right\}
é monótona e limitada. Em seguida, conclua que a sequência converge e determine o seu limite.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
\left\{a_{n}\right\}=\left\{\frac{n}{n^{2}+1}\right\},\quad n\in\mathbb{N},
e pede três coisas:
  • provar que a sequência é monótona (dizer se é crescente ou decrescente);
  • provar que a sequência é limitada (dar uma cota inferior e uma cota superior);
  • concluir que a sequência converge e determinar o seu limite.
Informações relevantes que temos: para todo n\ge 1 as expressões n e n^{2}+1 são positivas, logo a_{n}>0 para todo n\ge 1. A sequência está definida para n naturais.

Passo 2

Definições rápidas e plano de ataque (passo-a-passo do que vamos fazer).
  • Uma sequência \{a_n\} é monótona decrescente se, para todo n, vale a_{n+1}\le a_n. Para provar decrescência é comum computar a diferença a_{n+1}-a_n e verificar que é \le 0.
  • Uma sequência é limitada se existe uma constante M tal que |a_n|\le M para todo n. Aqui basta dar uma cota superior e uma cota inferior simples (por exemplo, 0 e algum M).
  • Teorema que vamos usar depois: toda sequência monótona e limitada (num conjunto de reais) converge. Depois disso vamos determinar o limite explícito, usando uma desigualdade que permita aplicar o Teorema do Confronto (squeeze).
Plano: (i) mostrar que a_{n+1}-a_n<0 para todo n\ge1 (decrescente); (ii) mostrar 0<a_n<1/n (limites simples); (iii) usar monotonia+limitade para garantir convergência; (iv) aplicar confronto para achar o limite.

Passo 3

Cálculo da diferença a_{n+1}-a_n e sinal — etapa algébrica detalhada.
Escrevemos
a_{n}=\frac{n}{n^{2}+1},\qquad a_{n+1}=\frac{n+1}{(n+1)^{2}+1}.
A diferença é
a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{(n+1)^{2}+1}-\frac{n}{n^{2}+1}.
Colocando no mesmo denominador:
a_{n+1}-a_n =\frac{(n+1)(n^{2}+1)-n\big((n+1)^{2}+1\big)}{\big((n+1)^{2}+1\big)\big(n^{2}+1\big)}.
Agora expandimos o numerador passo a passo:
(n+1)(n^{2}+1)=n^{3}+n^{2}+n+1,
(n+1)^{2}+1=n^{2}+2n+2,
n\big((n+1)^{2}+1\big)=n(n^{2}+2n+2)=n^{3}+2n^{2}+2n.
Subtraindo:
(n+1)(n^{2}+1)-n\big((n+1)^{2}+1\big) = (n^{3}+n^{2}+n+1)-(n^{3}+2n^{2}+2n).
Cancelando n^{3} e recolhendo termos:
= n^{2}-2n^{2} + n-2n +1 = -n^{2}-n+1 = -(n^{2}+n-1).
Portanto
a_{n+1}-a_n = -\frac{n^{2}+n-1}{\big((n+1)^{2}+1\big)\big(n^{2}+1\big)}.

Passo 4

Interpretação do sinal da diferença — conclusão sobre monotonicidade.
No numerador temos n^{2}+n-1. Para todo n\ge 1 isso é positivo (por exemplo, para n=1 vale 1, e para n\ge1 o termo cresce). O denominador \big((n+1)^{2}+1\big)\big(n^{2}+1\big) é positivo também. Como aparece um sinal negativo à frente, segue que
a_{n+1}-a_n < 0\quad\text{para todo }n\ge 1.
Logo a sequência \{a_n\} é estritamente decrescente (monótona decrescente) para n\ge1.

Passo 5

Provar que a sequência é limitada — cotas inferior e superior.
Primeiro, como para todo n\ge1 temos n>0 e n^{2}+1>0, segue que
a_n=\frac{n}{n^{2}+1}>0.
Assim 0 é uma cota inferior. Para uma cota superior simples note que, para n\ge1,
n^{2}+1>n^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{n}{n^{2}+1}<\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n}.
Portanto
0<a_n<\frac{1}{n}\quad\text{para todo }n\ge1,
e como \frac{1}{n}\le 1 para n\ge1, uma cota superior menos precisa é 1. Assim a sequência é limitada: por exemplo 0<a_n\le 1 para todo n\ge1.

Passo 6

Conclusão de convergência a partir de monotonicidade e limite inferior.
Pelo Teorema do Convergência Monótona (ou Teorema da Monotonia): toda sequência monotona e limitada converge em \mathbb{R}. Já provamos que \{a_n\} é decrescente e está limitada inferiormente por 0, portanto \{a_n\} converge; existe um L\in\mathbb{R} tal que
\lim_{n\to\infty} a_n = L.

Passo 7

Determinar o valor do limite usando o argumento por desigualdade (Teorema do Confronto).
Temos, como em Passo 5,
0<a_n<\frac{1}{n}\quad\text{para todo }n\ge1.
Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Pelo Teorema do Confronto (squeeze), de 0\le a_n\le 1/n e do fato de que 1/n\to 0, segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Passo 8

Resumo final e observações intuitivas (curtinho e motivador).
  • A sequência é positiva e decrescente; portanto cai rumo a um número.
  • A desigualdade a_n<1/n mostra que ela cai pelo menos tão rápido quanto 1/n, que vai a zero.
  • Conclusão: a sequência converge e o limite é 0. Boa! Passo a passo completo — se ficou alguma conta chata é só pedir que eu repito meio por meio.

Resposta

A sequência é monótona decrescente (estritamente decrescente) para n\ge1.
A sequência é limitada, por exemplo 0<a_n\le 1 para todo n\ge1.
A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}+1}=0.

Exercícios relacionados