Exemplo: Prove que a sequência
é monótona e limitada. Em seguida, conclua que a sequência converge e determine o seu limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede três coisas:
- provar que a sequência é monótona (dizer se é crescente ou decrescente);
- provar que a sequência é limitada (dar uma cota inferior e uma cota superior);
- concluir que a sequência converge e determinar o seu limite.
Informações relevantes que temos: para todo
as expressões
e
são positivas, logo
para todo
. A sequência está definida para
naturais.
Passo 2
Definições rápidas e plano de ataque (passo-a-passo do que vamos fazer).
- Uma sequência
é monótona decrescente se, para todo , vale . Para provar decrescência é comum computar a diferença e verificar que é . - Uma sequência é limitada se existe uma constante
tal que para todo . Aqui basta dar uma cota superior e uma cota inferior simples (por exemplo, 0 e algum ). - Teorema que vamos usar depois: toda sequência monótona e limitada (num conjunto de reais) converge. Depois disso vamos determinar o limite explícito, usando uma desigualdade que permita aplicar o Teorema do Confronto (squeeze).
Plano: (i) mostrar que
para todo
(decrescente); (ii) mostrar
(limites simples); (iii) usar monotonia+limitade para garantir convergência; (iv) aplicar confronto para achar o limite.
Passo 3
Cálculo da diferença
e sinal — etapa algébrica detalhada.
Escrevemos
Escrevemos
A diferença é
Colocando no mesmo denominador:
Agora expandimos o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Cancelando
e recolhendo termos:
Portanto
Passo 4
Interpretação do sinal da diferença — conclusão sobre monotonicidade.
No numerador temos . Para todo
isso é positivo (por exemplo, para
vale
, e para
o termo cresce). O denominador
é positivo também. Como aparece um sinal negativo à frente, segue que
No numerador temos
Logo a sequência
é estritamente decrescente (monótona decrescente) para
.
Passo 5
Provar que a sequência é limitada — cotas inferior e superior.
Primeiro, como para todo temos
e
, segue que
Primeiro, como para todo
Assim
é uma cota inferior. Para uma cota superior simples note que, para
,
Portanto
e como
para
, uma cota superior menos precisa é
. Assim a sequência é limitada: por exemplo
para todo
.
Passo 6
Conclusão de convergência a partir de monotonicidade e limite inferior.
Pelo Teorema do Convergência Monótona (ou Teorema da Monotonia): toda sequência monotona e limitada converge em . Já provamos que
é decrescente e está limitada inferiormente por
, portanto
converge; existe um
tal que
Pelo Teorema do Convergência Monótona (ou Teorema da Monotonia): toda sequência monotona e limitada converge em
Passo 7
Determinar o valor do limite usando o argumento por desigualdade (Teorema do Confronto).
Temos, como em Passo 5,
Temos, como em Passo 5,
Sabemos que
Pelo Teorema do Confronto (squeeze), de
e do fato de que
, segue que
Passo 8
Resumo final e observações intuitivas (curtinho e motivador).
- A sequência é positiva e decrescente; portanto cai rumo a um número.
- A desigualdade
mostra que ela cai pelo menos tão rápido quanto , que vai a zero. - Conclusão: a sequência converge e o limite é
. Boa! Passo a passo completo — se ficou alguma conta chata é só pedir que eu repito meio por meio.
Resposta
A sequência é monótona decrescente (estritamente decrescente) para
.
A sequência é limitada, por exemplo para todo
.
A sequência converge e
A sequência é limitada, por exemplo
A sequência converge e