Exemplo 2
Seja
um sistema de coordenadas polares no plano. Determine os pontos
do plano que satisfazem à equação
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos
do plano que satisfazem a equação
.
Informações dadas:
- Sistema de coordenadas: polar
com origem . - Equação que os pontos devem satisfazer:
. - A variável
não foi restringida pelo enunciado (logo pode variar).
Pergunta clara: descrever geometricamente e/ou em coordenadas quais pontos do plano correspondem a todas as soluções
com
.
Passo 2
Lembrete (definição e fórmulas de conversão): em coordenadas polares, um ponto com coordenadas
tem coordenadas cartesianas dadas por
Aqui
é a distância do ponto à origem
(logo
no uso padrão) e
é o ângulo que o raio-vetor faz com o eixo
positivo. Essas fórmulas vêm da definição geométrica do seno e cosseno num triângulo retângulo formado pelo raio-vetor.
Passo 3
Substituição direta da condição
nas fórmulas de conversão: para qualquer
,
Isso é uma parametrização do conjunto de pontos em função do parâmetro
.
Passo 4
Passo algébrico para obter a equação cartesiana: elevando as duas expressões ao quadrado e somando,
Usei a identidade trigonométrica
, que vale para todo
. Portanto todos os pontos com
satisfazem
Passo 5
Interpretação geométrica e observações importantes:
- A equação
descreve um círculo centrado na origem com raio . - Assim, a condição
corresponde exatamente a todos os pontos do círculo de raio centrado em . - Sobre
: pode ser qualquer número real, normalmente tomado em para uma representação única por ponto, mas cada ponto do círculo admite infinitas representações do tipo com . - Observação sobre
negativo: na convenção padrão toma-se , então representações com não pertencem ao conjunto ; existem outras representações equivalentes de um mesmo ponto (por exemplo e ), mas todas satisfazem .
Passo 6
Exemplos concretos para fixar a ideia:
- Para
: corresponde a . - Para
: corresponde a . - Para
: corresponde a .
Esses pontos estão todos sobre o círculo.