Exemplo 2

Seja O \rho \theta um sistema de coordenadas polares no plano. Determine os pontos P=(\rho, \theta) do plano que satisfazem à equação \rho=3.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos P=(\rho,\theta) do plano que satisfazem a equação \rho=3.
Informações dadas:
  • Sistema de coordenadas: polar (\rho,\theta) com origem O.
  • Equação que os pontos devem satisfazer: \rho=3.
  • A variável \theta não foi restringida pelo enunciado (logo pode variar).
Pergunta clara: descrever geometricamente e/ou em coordenadas quais pontos do plano correspondem a todas as soluções (\rho,\theta) com \rho=3.

Passo 2

Lembrete (definição e fórmulas de conversão): em coordenadas polares, um ponto com coordenadas (\rho,\theta) tem coordenadas cartesianas dadas por
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta.
Aqui \rho é a distância do ponto à origem O (logo \rho\ge 0 no uso padrão) e \theta é o ângulo que o raio-vetor faz com o eixo x positivo. Essas fórmulas vêm da definição geométrica do seno e cosseno num triângulo retângulo formado pelo raio-vetor.

Passo 3

Substituição direta da condição \rho=3 nas fórmulas de conversão: para qualquer \theta,
x=3\cos\theta,\qquad y=3\sin\theta.
Isso é uma parametrização do conjunto de pontos em função do parâmetro \theta.

Passo 4

Passo algébrico para obter a equação cartesiana: elevando as duas expressões ao quadrado e somando,
x^2+y^2=(3\cos\theta)^2+(3\sin\theta)^2=9(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=9\cdot 1=9.
Usei a identidade trigonométrica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, que vale para todo \theta. Portanto todos os pontos com \rho=3 satisfazem
x^2+y^2=9.

Passo 5

Interpretação geométrica e observações importantes:
  • A equação \;x^2+y^2=9\; descreve um círculo centrado na origem O com raio 3.
  • Assim, a condição \rho=3 corresponde exatamente a todos os pontos do círculo de raio 3 centrado em O.
  • Sobre \theta: pode ser qualquer número real, normalmente tomado em [0,2\pi) para uma representação única por ponto, mas cada ponto do círculo admite infinitas representações do tipo (\rho,\theta+2\pi k) com k\in\mathbb{Z}.
  • Observação sobre \rho negativo: na convenção padrão toma-se \rho\ge 0, então representações com \rho=-3 não pertencem ao conjunto \rho=3; existem outras representações equivalentes de um mesmo ponto (por exemplo (3,\theta) e (3,\theta+2\pi)), mas todas satisfazem \rho=3.

Passo 6

Exemplos concretos para fixar a ideia:
  • Para \theta=0: (\rho,\theta)=(3,0) corresponde a (x,y)=(3,0).
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2}: (3,\tfrac{\pi}{2}) corresponde a (x,y)=(0,3).
  • Para \theta=\pi: (3,\pi) corresponde a (x,y)=(-3,0).
    Esses pontos estão todos sobre o círculo x^2+y^2=9.

Resposta

\{(\rho,\theta)\mid \rho=3,\\ \theta\in\mathbb{R}\} (equivalentemente o conjunto de pontos cartesianamente descrito por \;x^2+y^2=9\;, um círculo de centro O e raio 3.)

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