9.2.7 Dê 5 exemplos de logaritmos negativos. Para que valores de x, tem-se \log _{b} x negativo?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Dar 5 exemplos de logaritmos que sejam negativos.
  • Dizer para quais valores de x temos \log_{b} x negativo.
Informações relevantes (implícitas no enunciado):
  • A função logaritmo \log_{b} x só está definida para x>0.
  • O parâmetro b (a base) deve satisfazer b>0 e b\neq1.

Passo 2

Definição básica (a ferramenta que vamos usar): por definição de logaritmo,
\log_{b} x = y \quad\Longleftrightarrow\quad b^{y} = x.
Aqui:
  • b é a base (número fixo, b>0, b\neq1);
  • x é o argumento do logaritmo (tem que ser x>0);
  • y é o valor do logaritmo, ou seja y=\log_{b} x.
Essa equivalência é muito útil porque nos permite transformar uma desigualdade sobre \log_{b} x em uma desigualdade sobre potências de b.

Passo 3

Caso b>1. Vamos estudar quando \log_{b} x < 0.
Se \log_{b} x < 0, então seja y=\log_{b} x com y<0. Pela definição, x=b^{y}.
Como y<0 podemos escrever y=-t com t>0. Então
x=b^{y}=b^{-t}=\frac{1}{b^{t}}.
Como b>1 e t>0, tem-se b^{t}>1, logo \dfrac{1}{b^{t}}\in(0,1). Portanto x\in(0,1).
Conversão lógica inversa: se 0<x<1 e b>1, existe y<0 tal que b^{y}=x (porque a função b^{y} decresce para valores negativos e atinge todos os valores em (0,1) quando y<0). Assim \log_{b} x<0.
Conclusão para b>1:
\log_{b} x<0 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<x<1.

Passo 4

Caso 0<b<1. Agora a função exponencial b^{y} é decrescente em y. Repetindo o raciocínio:
Se \log_{b} x<0, escreva y=\log_{b} x<0. Então x=b^{y} com y<0.
Escrevendo y=-t com t>0,
x=b^{y}=b^{-t}=\frac{1}{b^{t}}.
Mas agora, como 0<b<1, temos b^{t}<1 para t>0. Portanto \dfrac{1}{b^{t}}>1. Logo x>1.
De modo inverso, se x>1 e 0<b<1, existe y<0 tal que b^{y}=x (porque para bases 0<b<1 os expoentes negativos produzem valores maiores que 1). Assim \log_{b} x<0.
Conclusão para 0<b<1:
\log_{b} x<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>1.

Passo 5

Resumo prático (útil para a prova): sempre lembrar que o sinal do log depende da posição de x em relação a 1 e do tipo da base.
  • Se b>1: log negativo quando 0<x<1.
  • Se 0<b<1: log negativo quando x>1.
    E sempre x>0 porque o log não está definido para x\le0.

Passo 6

Cinco exemplos concretos de logaritmos negativos (cada um com uma justificativa curta usando b^{y}=x):
  1. \log_{10} 0,1 = -1, porque 10^{-1}=0,1.
  2. \log_{10} 0,01 = -2, porque 10^{-2}=0,01.
  3. \log_{2} \tfrac{1}{2} = -1, porque 2^{-1}=\tfrac{1}{2}.
  4. \ln 0,5 = \log_{e} 0,5 \approx -0,6931, porque e^{-0,6931}\approx 0,5.
  5. \log_{1/2} 2 = -1, porque (\tfrac{1}{2})^{-1}=2. Este último mostra o caso de base entre 0 e 1: argumento maior que 1 produz log negativo.

Resposta

\log_{10}0,1=-1,\\ \log_{10}0,01=-2,\\ \log_{2}\tfrac{1}{2}=-1,\\ \ln 0,5\approx-0,6931,\\ \log_{1/2}2=-1\n
Para b>1: \log_{b}x<0 se, e somente se, 0<x<1. Para 0<b<1: \log_{b}x<0 se, e somente se, x>1.

Exercícios relacionados