9.2.7 Dê 5 exemplos de logaritmos negativos. Para que valores de
, tem-se
negativo?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Dar 5 exemplos de logaritmos que sejam negativos.
- Dizer para quais valores de
temos negativo.
Informações relevantes (implícitas no enunciado):
- A função logaritmo
só está definida para . - O parâmetro
(a base) deve satisfazer e .
Passo 2
Definição básica (a ferramenta que vamos usar): por definição de logaritmo,
Aqui:
-
é a base (número fixo, , ); -
é o argumento do logaritmo (tem que ser ); -
é o valor do logaritmo, ou seja .
Essa equivalência é muito útil porque nos permite transformar uma desigualdade sobre
em uma desigualdade sobre potências de
.
Passo 3
Caso
. Vamos estudar quando
.
Se
, então seja
com
. Pela definição,
.
Como podemos escrever
com
. Então
Como
Como
e
, tem-se
, logo
. Portanto
.
Conversão lógica inversa: se
e
, existe
tal que
(porque a função
decresce para valores negativos e atinge todos os valores em
quando
). Assim
.
Conclusão para
:
Passo 4
Caso
. Agora a função exponencial
é decrescente em
. Repetindo o raciocínio:
Se
, escreva
. Então
com
.
Escrevendo com
,
Escrevendo
Mas agora, como
, temos
para
. Portanto
. Logo
.
De modo inverso, se
e
, existe
tal que
(porque para bases
os expoentes negativos produzem valores maiores que
). Assim
.
Conclusão para
:
Passo 5
Resumo prático (útil para a prova): sempre lembrar que o sinal do log depende da posição de
em relação a
e do tipo da base.
- Se
: log negativo quando . - Se
: log negativo quando .
E sempreporque o log não está definido para .
Passo 6
Cinco exemplos concretos de logaritmos negativos (cada um com uma justificativa curta usando
):
-
, porque . -
, porque . -
, porque . -
, porque . -
, porque . Este último mostra o caso de base entre e : argumento maior que produz log negativo.
Resposta
Para