Exerćcio 03 (Roma, 3.4):
Um rotor de bomba hidráulica tem raio externo
e ângulo de saída da pá
e foi projetado para operar a rotação
de 1750 rpm . Sabendo-se que deverá fornecer uma vazão de
, determine a velocidade do fluido na saída do rotor. Calcule também a componente tangencial e a pressão máxima fornecida pelo rotor. Considere o rotor como centrífugo puro e que o raio da entrada do rotor é igual a metade do raio da saída, largura
e 6 pás.
de 1750 rpm . Sabendo-se que deverá fornecer uma vazão de
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei todos os dados do enunciado):
-
Dados numéricos:
-
. - ângulo de saída da pá
. - rotação
. - vazão
. - o raio de entrada é metade do raio de saída:
. - largura do rotor (espessura do canal)
. - número de pás
.
-
-
O que o problema pede:
- Determinar a velocidade do fluido na saída do rotor (velocidade meridional/radial na saída).
- Calcular a componente tangencial da velocidade na saída do rotor.
- Calcular a pressão máxima fornecida pelo rotor (aumentos de pressão gerado pelo rotor).
-
Observações/pressupostos que vou usar (não pedires, mas são necessários para resolver):
- Vou assumir fluido água com densidade
(valor típico) porque o enunciado não especifica fluido. - Considero escoamento estacionário e o rotor como um dispositivo que transfere energia segundo a equação de Euler para turbomáquinas.
- Vou usar a área total de saída do rotor igual à circunferência vezes a largura:
(equivalente a somar as aberturas individuais).
- Vou assumir fluido água com densidade
Passo 2
Converter unidades e calcular a vazão em
. Explicando a fórmula: para passar de litros por hora para metros cúbicos por segundo divide-se por
(litro para metro cúbico) e por
(hora para segundo).
Vou usar
.
Passo 3
Determinar a área de saída e a velocidade meridional (radial) pela equação da continuidade. Teoria rápida: a vazão volumétrica
é a área da seção de saída
vezes a componente meridional da velocidade
(a componente efetivamente atravessando a seção). Aqui a área total disponível na periferia é
. Note que, se existirem
pás, a área total somada das passagens é a mesma:
.
Agora a continuidade:
Calculemos:
Comentário didático curto: esse
é a velocidade “radial/meridional” com que o fluido sai do rotor; fácil de obter pelo balanço de vazão.
Passo 4
Calcular a velocidade periférica do rotor na saída
. Explicando: a velocidade tangencial do bordo da pá (velocidade linear) é
com
.
Calculemos
e
:
Explicação:
é grande em relação a
porque a rotação é rápida e o raio é razoável.
Passo 5
Relacionar os vetores velocidades na saída usando o triângulo das velocidades (aula curtinha). Conceitos:
-
é a velocidade relativa do fluido em relação à pá na saída. -
é a componente meridional (radial) do escoamento; em notação comum . -
é a componente tangencial da velocidade relativa. -
é o ângulo entre a velocidade relativa e a direção tangencial (convencionalmente, ). Dessa relação segue:
Depois, a componente tangencial da velocidade absoluta
relaciona-se por
porque a velocidade absoluta é a soma vetorial da velocidade da pá
e da velocidade relativa
(na direção tangencial o sinal fica
).
Agora aplicando:
Interpretação: a componente tangencial absoluta é praticamente igual à velocidade periférica
porque
é muito pequena em comparação — consequência da vazão pequena e do canal estreito.
Passo 6
Calcular a pressão máxima fornecida pelo rotor usando a equação de Euler para turbomáquinas. Teoria: a energia específica (por unidade de massa) adicionada pelo rotor é
onde os índices
e
se referem à entrada e saída do rotor. Multiplicando por
obtemos a pressão teórica máxima (diferença de pressão dinâmica/estática ideal):
Presunção comum: sem pré-giro na entrada (sem “pre-whirl”), temos
. O enunciado não deu ângulo nem componente tangencial na entrada, por isso assumimos
. Então
Precisamos de
só se
; aqui não é o caso. (Para registro,
e
, mas como
o termo some.)
Agora calcule numericamente:
Já temos
e
.
Com
:
Convertendo para unidades mais usuais:
Também é informativo o “head” (altura de coluna de água equivalente), usando
:
Passo 7
Breve verificação de ordem de grandeza e comentário final (rápido e prático):
- A velocidade meridional
é muito baixa ( ) devido à vazão pequena e à área periférica relativamente grande; isso explica por que é pequeno comparado a . - A maior contribuição para a pressão vem do produto
, que é grande porque é grande (alta rotação), resultando em da ordem de (centenas de kPa), ou cerca de de coluna de água.
Resposta
Velocidade do fluido na saída (componente meridional):
Componente tangencial da velocidade absoluta na saída:
Pressão máxima fornecida pelo rotor (aument. teórico):