Exerćcio 03 (Roma, 3.4):
Um rotor de bomba hidráulica tem raio externo \mathrm{r}_{2}=80 \mathrm{~mm} e ângulo de saída da pá \beta_{2}=30^{\circ} e foi projetado para operar a rotação
de 1750 rpm . Sabendo-se que deverá fornecer uma vazão de 600 \mathrm{~L} / \mathrm{h}, determine a velocidade do fluido na saída do rotor. Calcule também a componente tangencial e a pressão máxima fornecida pelo rotor. Considere o rotor como centrífugo puro e que o raio da entrada do rotor é igual a metade do raio da saída, largura \mathrm{b}=5 \mathrm{~mm} e 6 pás.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei todos os dados do enunciado):
  • Dados numéricos:
    • r_{2}=80\\ \mathrm{mm}=0{,}080\\ \mathrm{m}.
    • ângulo de saída da pá \beta_{2}=30^\circ.
    • rotação n=1750\\ \mathrm{rpm}.
    • vazão Q=600\\ \mathrm{L/h}.
    • o raio de entrada é metade do raio de saída: r_{1}=\dfrac{r_{2}}{2}.
    • largura do rotor (espessura do canal) b=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
    • número de pás N=6.
  • O que o problema pede:
    1. Determinar a velocidade do fluido na saída do rotor (velocidade meridional/radial na saída).
    2. Calcular a componente tangencial da velocidade na saída do rotor.
    3. Calcular a pressão máxima fornecida pelo rotor (aumentos de pressão gerado pelo rotor).
  • Observações/pressupostos que vou usar (não pedires, mas são necessários para resolver):
    • Vou assumir fluido água com densidade \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor típico) porque o enunciado não especifica fluido.
    • Considero escoamento estacionário e o rotor como um dispositivo que transfere energia segundo a equação de Euler para turbomáquinas.
    • Vou usar a área total de saída do rotor igual à circunferência vezes a largura: A=2\pi r_{2} b (equivalente a somar as N aberturas individuais).

Passo 2

Converter unidades e calcular a vazão em \mathrm{m^{3}/s}. Explicando a fórmula: para passar de litros por hora para metros cúbicos por segundo divide-se por 1000 (litro para metro cúbico) e por 3600 (hora para segundo).
Q = 600\\ \mathrm{L/h} = \frac{600\times 10^{-3}}{3600}\\ \mathrm{m^{3}/s} = 0{,}000166\,6667\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Vou usar \displaystyle Q=1{,}6667\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 3

Determinar a área de saída e a velocidade meridional (radial) pela equação da continuidade. Teoria rápida: a vazão volumétrica Q é a área da seção de saída A vezes a componente meridional da velocidade v_{m} (a componente efetivamente atravessando a seção). Aqui a área total disponível na periferia é A=2\pi r_{2} b. Note que, se existirem N pás, a área total somada das passagens é a mesma: N\cdot(b\cdot 2\pi r_{2}/N)=2\pi r_{2} b.
A = 2\pi r_{2} b = 2\pi(0{,}080)(0{,}005)=2\pi\cdot 0{,}0004=0{,}002513274\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora a continuidade:
v_{m}=\frac{Q}{A}=\frac{1{,}6667\times10^{-4}}{0{,}002513274}\\ \mathrm{m/s}.
Calculemos:
v_{m}\approx 0{,}06633\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático curto: esse v_{m} é a velocidade “radial/meridional” com que o fluido sai do rotor; fácil de obter pelo balanço de vazão.

Passo 4

Calcular a velocidade periférica do rotor na saída u_{2}. Explicando: a velocidade tangencial do bordo da pá (velocidade linear) é u=\omega r com \omega=2\pi n/60.
Calculemos \omega e u_{2}:
\omega = 2\pi\frac{n}{60}=2\pi\frac{1750}{60}\\ \mathrm{rad/s}.
\omega \approx 183{,}2596\\ \mathrm{rad/s}.
u_{2}=\omega r_{2}=183{,}2596\times 0{,}080\approx 14{,}6608\\ \mathrm{m/s}.
Explicação: u_{2} é grande em relação a v_{m} porque a rotação é rápida e o raio é razoável.

Passo 5

Relacionar os vetores velocidades na saída usando o triângulo das velocidades (aula curtinha). Conceitos:
  • w_{2} é a velocidade relativa do fluido em relação à pá na saída.
  • v_{m} é a componente meridional (radial) do escoamento; em notação comum w_{m}=v_{m}.
  • w_{u} é a componente tangencial da velocidade relativa.
  • \beta_{2} é o ângulo entre a velocidade relativa w_{2} e a direção tangencial (convencionalmente, \tan\beta_{2}=\dfrac{w_{m}}{w_{u}}). Dessa relação segue:
w_{u}=\frac{w_{m}}{\tan\beta_{2}}=w_{m}\cot\beta_{2}.
Depois, a componente tangencial da velocidade absoluta c_{u2} relaciona-se por
c_{u2}=u_{2}-w_{u},
porque a velocidade absoluta é a soma vetorial da velocidade da pá u_{2} e da velocidade relativa w_{2} (na direção tangencial o sinal fica c_{u}=u-w_{u}).
Agora aplicando:
w_{m}=v_{m}=0{,}06633\\ \mathrm{m/s},\qquad \beta_{2}=30^\circ,\qquad \cot 30^\circ=\sqrt{3}\approx 1{,}73205.
w_{u}=w_{m}\cot\beta_{2}=0{,}06633\times 1{,}73205\approx 0{,}11491\\ \mathrm{m/s}.
c_{u2}=u_{2}-w_{u}=14{,}6608-0{,}11491\approx 14{,}5459\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a componente tangencial absoluta é praticamente igual à velocidade periférica u_{2} porque w_{u} é muito pequena em comparação — consequência da vazão pequena e do canal estreito.

Passo 6

Calcular a pressão máxima fornecida pelo rotor usando a equação de Euler para turbomáquinas. Teoria: a energia específica (por unidade de massa) adicionada pelo rotor é
\Delta e = u_{2} c_{u2} - u_{1} c_{u1},
onde os índices 1 e 2 se referem à entrada e saída do rotor. Multiplicando por \rho obtemos a pressão teórica máxima (diferença de pressão dinâmica/estática ideal):
\Delta p = \rho\,\Delta e = \rho\,(u_{2} c_{u2} - u_{1} c_{u1}).
Presunção comum: sem pré-giro na entrada (sem “pre-whirl”), temos c_{u1}\approx 0. O enunciado não deu ângulo nem componente tangencial na entrada, por isso assumimos c_{u1}=0. Então
\Delta p = \rho\,u_{2} c_{u2}.
Precisamos de u_{1} só se c_{u1}\neq0; aqui não é o caso. (Para registro, u_{1}=\omega r_{1} e r_{1}=r_{2}/2, mas como c_{u1}=0 o termo some.)
Agora calcule numericamente:
Já temos u_{2}\approx 14{,}6608\\ \mathrm{m/s} e c_{u2}\approx 14{,}5459\\ \mathrm{m/s}.
u_{2}c_{u2}\approx 14{,}6608\times 14{,}5459 \approx 213{,}2534\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}:
\Delta p = 1000\times 213{,}2534 \approx 213{,}253{,}4\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para unidades mais usuais:
\Delta p \approx 2,1325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}\approx 213{,}3\\ \mathrm{kPa}.
Também é informativo o “head” (altura de coluna de água equivalente), usando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
H=\frac{\Delta p}{\rho g}\approx\frac{213{,}2534}{1000\times 9{,}81}\approx 21{,}74\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Breve verificação de ordem de grandeza e comentário final (rápido e prático):
  • A velocidade meridional v_{m} é muito baixa ( \sim 0{,}066\\ \mathrm{m/s}) devido à vazão pequena e à área periférica relativamente grande; isso explica por que w_{u} é pequeno comparado a u_{2}.
  • A maior contribuição para a pressão vem do produto u_{2}c_{u2}, que é grande porque u_{2} é grande (alta rotação), resultando em \Delta p da ordem de 2\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (centenas de kPa), ou cerca de 22\\ \mathrm{m} de coluna de água.

Resposta

Velocidade do fluido na saída (componente meridional): v_{m}=0{,}06633\\ \mathrm{m/s}
Componente tangencial da velocidade absoluta na saída: c_{u2}=14{,}5459\\ \mathrm{m/s}
Pressão máxima fornecida pelo rotor (aument. teórico): \Delta p=2,1325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\approx 213{,}3\\ \mathrm{kPa}

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