Exercício 01: Demonstre a validade dos seguintes argumentos:
Passo 1
O que o enunciado nos dá e pede (vou listar exatamente as premissas e a conclusão que queremos derivar):
-
Premissas:
-
-
Conclusão a demonstrar:
-
O pedido é: mostrar se, a partir dessas premissas, podemos logicamente inferir
(isto é, se o argumento é válido).
Passo 2
O que significa “argumento válido” (estratégia para resolver): um argumento é válido se, em toda atribuição de verdade (valoração) que torne todas as premissas verdadeiras, a conclusão também for verdadeira. Para mostrar que o argumento é inválido basta encontrar uma valoração (um contraexemplo) que faça todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Vou procurar um contraexemplo porque suspeito que não temos informação suficiente para garantir
.
Passo 3
Observação útil que já nos dá algo: simplificar a primeira premissa usando De Morgan e dupla negação.
- Regra de De Morgan:
é logicamente equivalente a . - Aplicando com
e : - Dupla negação:
é equivalente a . - Portanto qualquer valoração que satisfaça
também satisfaz
Em palavras: a primeira premissa força
verdadeiro e
falso.
Passo 4
A partir de
(segunda premissa) e de
(do passo anterior) podemos obter
por eliminação da disjunção (disjuntiva silogismo / eliminação do
):
-
e implicam .
Assim, das premissas já podemos deduzir explicitamente:
Passo 5
Análise do que falta para chegar em
:
- Já temos
. - Para obter
precisamos também de . - As outras premissas são
e . -
dá somente se soubermos que é verdadeiro — mas não sabemos . -
tem no antecedente; não ajuda a obter sem já ter .
-
Portanto nada nas premissas exige que
seja verdadeiro; parece possível ter todas as premissas verdadeiras enquanto
é falsa. Isso sugere que existe um contraexemplo.
Passo 6
Construindo explicitamente um contraexemplo (valoração) — escolho valores simples e naturais que respeitem o que já deduzi:
- Vou definir a valoração
por
Agora avalio cada premissa sob
:
-
:
Logo a primeira premissa é verdadeira sob
.
-
: Segunda premissa é verdadeira. -
: (uma implicação com antecedente falso é verdadeira). Terceira premissa é verdadeira. -
:
Quarta premissa é verdadeira (implicação com antecedente falso é verdadeira).
Finalmente, avalio a conclusão
:
Portanto sob a valoração
todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa.
Passo 7
Conclusão lógica do argumento: como existe uma valoração que torna todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, o argumento não é válido. Em termos práticos, a partir das premissas pode-se deduzir
(veja passo 3) e
(passo 4), mas nada nas premissas obriga
a ser verdadeiro; por isso não é possível derivar
em geral.
Resposta
O argumento não é válido. Contraexemplo:
.