Exercício 01: Demonstre a validade dos seguintes argumentos:
\neg(p \vee \neg t), p \vee q, r \rightarrow s, q \wedge s \rightarrow t \wedge s \vdash s \wedge t

Passo 1

O que o enunciado nos dá e pede (vou listar exatamente as premissas e a conclusão que queremos derivar):
  • Premissas:
    • \neg(p \vee \neg t)
    • p \vee q
    • r \rightarrow s
    • q \wedge s \rightarrow t \wedge s
  • Conclusão a demonstrar:
    • s \wedge t
O pedido é: mostrar se, a partir dessas premissas, podemos logicamente inferir s \wedge t (isto é, se o argumento é válido).

Passo 2

O que significa “argumento válido” (estratégia para resolver): um argumento é válido se, em toda atribuição de verdade (valoração) que torne todas as premissas verdadeiras, a conclusão também for verdadeira. Para mostrar que o argumento é inválido basta encontrar uma valoração (um contraexemplo) que faça todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Vou procurar um contraexemplo porque suspeito que não temos informação suficiente para garantir s.

Passo 3

Observação útil que já nos dá algo: simplificar a primeira premissa usando De Morgan e dupla negação.
  • Regra de De Morgan: \neg(A \vee B) é logicamente equivalente a \neg A \wedge \neg B.
  • Aplicando com A=p e B=\neg t: \neg(p \vee \neg t)\quad\text{é equivalente a}\quad \neg p \wedge \neg(\neg t).é
  • Dupla negação: \neg(\neg t) é equivalente a t.
  • Portanto qualquer valoração que satisfaça \neg(p \vee \neg t) também satisfaz \neg p \quad\text{e}\quad t.
Em palavras: a primeira premissa força t verdadeiro e p falso.

Passo 4

A partir de p \vee q (segunda premissa) e de \neg p (do passo anterior) podemos obter q por eliminação da disjunção (disjuntiva silogismo / eliminação do \vee):
  • p \vee q e \neg p implicam q.
Assim, das premissas já podemos deduzir explicitamente:
q \quad\text{e}\quad t.

Passo 5

Análise do que falta para chegar em s \wedge t:
  • Já temos t.
  • Para obter s \wedge t precisamos também de s.
  • As outras premissas são r \rightarrow s e q \wedge s \rightarrow t \wedge s.
    • r \rightarrow s s somente se soubermos que r é verdadeiro — mas não sabemos r.
    • q \wedge s \rightarrow t \wedge s tem s no antecedente; não ajuda a obter s sem já ter s.
Portanto nada nas premissas exige que s seja verdadeiro; parece possível ter todas as premissas verdadeiras enquanto s é falsa. Isso sugere que existe um contraexemplo.

Passo 6

Construindo explicitamente um contraexemplo (valoração) — escolho valores simples e naturais que respeitem o que já deduzi:
  • Vou definir a valoração v por v(p)=\text{F},\quad v(q)=\text{V},\quad v(r)=\text{F},\quad v(s)=\text{F},\quad v(t)=\text{V}.
Agora avalio cada premissa sob v:
  1. \neg(p \vee \neg t): p \vee \neg t = \text{F} \vee \neg\text{V} = \text{F} \vee \text{F} = \text{F},
\neg(p \vee \neg t)=\neg\text{F}=\text{V}.
Logo a primeira premissa é verdadeira sob v.
  1. p \vee q:
    p \vee q = \text{F} \vee \text{V} = \text{V}.
    Segunda premissa é verdadeira.
  2. r \rightarrow s:
    r \rightarrow s = \text{F} \rightarrow \text{F} = \text{V}
    (uma implicação com antecedente falso é verdadeira). Terceira premissa é verdadeira.
  3. q \wedge s \rightarrow t \wedge s:
    q \wedge s = \text{V} \wedge \text{F} = \text{F},
q \wedge s \rightarrow t \wedge s = \text{F} \rightarrow (\text{V} \wedge \text{F}) = \text{F} \rightarrow \text{F} = \text{V}.
Quarta premissa é verdadeira (implicação com antecedente falso é verdadeira).
Finalmente, avalio a conclusão s \wedge t:
s \wedge t = \text{F} \wedge \text{V} = \text{F}.
Portanto sob a valoração v todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa.

Passo 7

Conclusão lógica do argumento: como existe uma valoração que torna todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, o argumento não é válido. Em termos práticos, a partir das premissas pode-se deduzir t (veja passo 3) e q (passo 4), mas nada nas premissas obriga s a ser verdadeiro; por isso não é possível derivar s \wedge t em geral.

Resposta

O argumento não é válido. Contraexemplo: p=\text{F},\; q=\text{V},\; r=\text{F},\; s=\text{F},\; t=\text{V}.

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