Exercício 01: Demonstre a validade dos seguintes argumentos:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Premissas:
-
. -
. -
.
-
-
O que se pede:
- Mostrar que a conclusão
segue logicamente das premissas, ou seja, provar
- Mostrar que a conclusão
Passo 2
Escolha do método e explicação das regras que vou usar (com exemplos simples).
-
Estratégia: para provar uma negação
é muito comum usar prova por contradição (também chamada de introdução de negação): assumir e mostrar que dessa suposição segue uma contradição; daí conclui-se . -
Regra “Modus Ponens” (eliminação da implicação): se se tem
e também , então pode-se inferir . - Esquema: de
inferir . - Exemplo rápido: de
e segue .
- Esquema: de
-
Regra “Introdução de negação” (¬-I, prova por contradição): se, supondo
, é possível derivar uma contradição (algo da forma ou o símbolo absurdo ), então pode-se concluir , descartando a suposição. - Esquema: se assumindo
obtém-se , então inferir . - Exemplo rápido: se assumo
e consigo tanto quanto , concluo .
- Esquema: se assumindo
Passo 3
Aplicando modus ponens com as premissas envolvendo
.
- Temos a premissa
. - Temos também a premissa
. - Pela regra de modus ponens (de
e inferimos ), obtemos: Justificativa: a implicação diz que sempre que é verdade, então também o é; como é dada, concluímos .
Passo 4
Preparar a prova por contradição: assumir
e ver o que acontece.
- Para provar
vou assumir provisoriamente:
Passo 5
Aplicando modus ponens com a premissa
e a assunção
.
- Temos
(premissa). - Temos
(assunção do passo anterior). - Pela regra de modus ponens, de
e inferimos: Explicação: a implicação diz que se então ; como assumimos , tiramos .
Passo 6
Obter a contradição juntando os resultados dos passos anteriores.
- Do Passo 3 obtivemos
. - Do Passo 5 obtivemos
. - Então temos simultaneamente
e , isto é uma contradição. Podemos escrever isso como:
Passo 7
Concluir
por descarte da assunção (introdução de negação).
- Como a suposição
levou a uma contradição ( ), pela regra de introdução de negação podemos concluir que a suposição é falsa; portanto: - Essa
é deduzida usando apenas as premissas iniciais e a regra de prova por contradição, então a inferência é válida.