Exercício 01: Demonstre a validade dos seguintes argumentos:
Passo 1
O enunciado dá três premissas e pede para demonstrar que a conclusão
segue delas. Vou listar tudo claramente:
-
Premissas:
-
-
O que se pede: mostrar que, a partir dessas premissas, se pode deduzir
. Em notação de sequente:
Passo 2
Escolha do método: vou usar dedução natural (provas por suposição e regras básicas:
-eliminação (modus ponens),
-introdução (prova por contradição parcial) e eliminação da dupla negação). Essas são ferramentas básicas e diretas para essa tarefa: a ideia intuitiva é mostrar que
e
nos forçam a concluir
; então usar
para obter
e finalmente eliminar as negações para obter
.
Passo 3
Vou explicar as regras que vou usar (com linguagem simples):
-
Regra
-eliminação (modus ponens): se se tem e também , então pode-se inferir . Em símbolo: de e segue . -
Regra de
-introdução (introdução da negação / prova por contradição): para provar , assume-se provisoriamente e mostra-se que dessa suposição segue uma contradição (um par e , que costuma ser abreviado por ). Se a suposição leva a , então pode-se concluir , dischargando a suposição. -
Símbolo de contradição:
representa “contradição” (algo do tipo e simultaneamente). -
Eliminação da dupla negação: em lógica clássica, de
pode-se inferir . Essa é a regra que transforma a negação dupla em afirmação simples.
Vou usar essas regras passo a passo.
Passo 4
Primeiro bloco: derivar
a partir de
e
.
-
(premissa) -
(premissa)
Agora faço uma suposição temporária para aplicar
-introdução:
- Suponha
. (suposição para demonstrar )
Aplicando modus ponens (regra de
-eliminação) com (1) e (3):
- De (1) e (3) segue
. (por -eliminação)
Mas temos (2) que é
. Assim, das linhas (4) e (2) obtemos uma contradição:
-
(contradição entre e )
Como a suposição
levou a
, por
-introdução podemos concluir:
-
. (a suposição em (3) é descarregada)
Passo 5
Segundo bloco: usar
com a segunda premissa para obter
, e depois eliminar as negações.
-
(premissa)
Aplicando modus ponens com (6) e (7):
- De (6) e (7) segue
. (por -eliminação)
Agora aplico eliminação da dupla negação:
- De (8) segue
. (eliminação da dupla negação)
Portanto, a partir das três premissas chegamos a
.
Passo 6
Comentário final e verificação: todas as suposições temporárias foram devidamente descarregadas (a única suposição que fiz foi
em (3), que foi usada apenas para obter
por
-introdução). As regras usadas são aceitáveis em dedução natural clássica. Logo o argumento é válido: as premissas implicam
.