Exercício 01: Demonstre a validade dos seguintes argumentos:
Passo 1
O enunciado dá as duas premissas
e pede para demonstrar que a conclusão
é uma consequência lógica dessas premissas; ou seja, mostrar que sempre que
e
são verdadeiras, então
também é verdadeira.
Passo 2
Vou provar a validade fazendo uma análise por casos simples sobre o valor de verdade de
. Essa técnica é bem básica e direta: consideramos as duas possibilidades para
(verdadeiro ou falso) e mostramos que em ambas o disjunto
fica verdadeiro quando as premissas são verdadeiras. Antes de começar, lembro duas regras usadas aqui:
- Modus ponens: de
e segue . - Introdução da disjunção: se
é verdadeiro então é verdadeiro (para qualquer ).
Passo 3
Caso 1: suponha
é verdadeira.
- Das premissas temos
. Aplicando modus ponens com obtemos . - Das premissas temos também
. Aplicando modus ponens com obtemos . - Se
é verdadeira então a disjunção é verdadeira (introdução da disjunção).
Portanto, quandoé verdadeira e as premissas valem, a conclusão vale.
Passo 4
Caso 2: suponha
é falsa.
- Se
é falsa então é verdadeira por definição. - Se
é verdadeira então a disjunção é verdadeira (introdução da disjunção).
Portanto, quandoé falsa e as premissas valem, a conclusão vale.
Passo 5
Como os dois casos possíveis para
(verdadeiro ou falso) cobrem todas as situações e em ambos obtivemos que
é verdadeira sempre que as premissas
são verdadeiras, concluímos que as premissas implicam semanticamente a conclusão. Em linguagem lógica:
Ou seja, o argumento é válido.
Passo 6
(Observação alternativa, útil para prova em sala) Pode-se ver a mesma ideia por dedução condicional: assumindo
e usando as premissas obtém-se
; então por prova condicional conclui-se
. Como, em lógica clássica,
é logicamente equivalente a
, obtemos a conclusão desejada. Os passos formais seriam:
- Assuma
. - De
e obtenha . - De
e obtenha . - Discharge a suposição de
e deduza . - Substitua
por (equivalência clássica).