Exercício 01: Demonstre a validade dos seguintes argumentos:
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes premissas (peguei-as do enunciado):
E pede que se demonstre que a partir dessas premissas se pode concluir
Ou seja, preciso mostrar que o argumento
é válido — isto é, que
pode ser deduzido logicamente das quatro premissas.
Passo 2
Plano de resolução (o que vou fazer, explicado passo a passo e com as regras usadas):
- A presença de
sugere usar uma prova por casos (regra de eliminação da disjunção, -E): assumo e mostro a conclusão; assumo e mostro a conclusão; então concluo a partir de . - As regras básicas que vou usar (explicadas de forma simples):
- Modus ponens (eliminação da implicação,
-E): de e infero . Ex.: de e obtenho . - Eliminação da conjunção (
-E): de infero e infero separadamente. - Introdução da conjunção (
-I): de e infero . - Eliminação da disjunção (
-E, prova por casos): de , se assumindo se obtém e assumindo se obtém , então infere-se sem as suposições.
- Modus ponens (eliminação da implicação,
- Vou trabalhar explicitando as suposições temporárias (para cada caso) e depois as descarregar com
-E.
Passo 3
Caso 1: suponho
. Vou deduzir
a partir dessa suposição e das premissas.
- Suponha
. (suposição para o caso) - Das premissas temos
. Aplicando modus ponens com obtenho . Explicação: modus ponens é a regra que transforma e em . - Das premissas temos
. Aplicando modus ponens com obtenho . Explicação: novamente, de e segue . - Agora, de
posso aplicar eliminação da conjunção para obter e também para obter . Isto é, de infiro e infiro . - Com
e em mãos, aplico introdução da conjunção ( -I) para formar . Observação: mesmo que já tivéssemos , aqui reorganizamos para obter por meio de -E seguido de -I (não é necessário ter uma regra de “comutatividade” explícita). - Concluímos que, sob a suposição
, consegue-se . Agora essa suposição será descarregada quando usarmos a eliminação da disjunção.
Resumo do caso 1 em forma de passos curtos:
-
(suposição) - de
e segue ( -E) - de
e segue ( -E) - de
segue e ( -E) - de
e segue ( -I) - portanto,
(sob a hipótese ).
Passo 4
Caso 2: suponho
. Vou deduzir
a partir dessa suposição e das premissas.
- Suponha
. (segunda suposição para o caso) - Das premissas temos
. Aplicando modus ponens com obtenho . - Das premissas temos
. Aplicando modus ponens com obtenho . - De
aplico eliminação da conjunção para obter e também . - Com
e em mãos, aplico introdução da conjunção para formar . - Concluímos que, sob a suposição
, consegue-se .
Resumo do caso 2 em forma de passos curtos:
-
(suposição) - de
e segue ( -E) - de
e segue ( -E) - de
segue e ( -E) - de
e segue ( -I) - portanto,
(sob a hipótese ).
Passo 5
Aplicação da eliminação da disjunção (
-E) para juntar os casos:
- Temos
como premissa. - Mostramos que a partir de
se obtém (Passo 3). - Mostramos que a partir de
se obtém (Passo 4). - Pela regra
-E: de , se implica e implica , então podemos concluir sem depender das suposições ou . - Logo, a partir das quatro premissas iniciais obtém-se
.
Passo 6
Conclusão final da prova e comentários didáticos:
- A ideia central foi a prova por casos (disjunção
). Em cada ramo (assumindo ou assumindo ) usamos modus ponens duas vezes: primeiro para chegar a (usando ou ), e depois para obter a partir de e da premissa . - Depois transformamos
em por eliminação e reintrodução da conjunção (pegar os componentes e re-formar a conjunção na ordem desejada). - Assim a conclusão
é obtida de forma correta e as suposições locais ( e ) são descartadas ao aplicar -E, ficando apenas as premissas originais.