Exercício 01: Mostre que o conjunto de pontos do \mathbb{R}^{2} que possuem a propriedade \sigma(t)=\left(x_{0}+\operatorname{acos}(t) ; y_{0}+\operatorname{asen}(t)\right) satisfazem a equação geral \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=a^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma parametrização de uma curva em \mathbb{R}^2 dada por
\sigma(t)=\bigl(x_0 + a\cos t,\;y_0 + a\sin t\bigr),
e pede para mostrar que todo ponto dessa curva satisfaz a equação
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = a^2.
O conteúdo aqui é curva paramétrica e uso da identidade trigonométrica \cos^2 t + \sin^2 t = 1.

Passo 2

Seja (x,y)=\sigma(t). Então, por definição,
x - x_0 = a\cos t \quad\text{e}\quad y - y_0 = a\sin t.
Elevando ao quadrado e somando, obtemos
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = \bigl(a\cos t\bigr)^2 + \bigl(a\sin t\bigr)^2 = a^2\bigl(\cos^2 t + \sin^2 t\bigr).
Pela identidade trigonométrica \cos^2 t + \sin^2 t = 1, segue que
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = a^2.

Resposta

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = a^2.

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