Exercício 01 (Roma, 3.1): Para tentar utilizar uma bomba centrífuga existente no almoxarifado e sem os dados técnicos do fabricante, procedeu-se a uma medida do rotor da máquina com 5 pás e foram encontradas as seguintes medidas: a) Diâmetro do rotor: \mathrm{D}_{2}=300 \mathrm{~mm}; Diâmetro da entrada do rotor: \mathrm{D}_{1}=150 \mathrm{~mm}; Ângulo de saída da pá: \beta_{2}=35^{\circ}; Largura do rotor na saída: \mathrm{b}=5 \mathrm{~mm}; Rotação de trabalho: 1750 rpm . Com estes dados disponíveis, determine a pressão máxima da bomba, corrigida para um número finito de pás. Determine também a vazão nominal de projeto.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro do rotor na saída: \mathrm{D}_{2}=300\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro da entrada do rotor: \mathrm{D}_{1}=150\\ \mathrm{mm}.
  • Ângulo de saída da pá (medido em relação à tangente, isto é, ângulo da pá no ponto de saída): \beta_{2}=35^\circ.
  • Largura do rotor na saída: \mathrm{b}=5\\ \mathrm{mm}.
  • Rotação de trabalho: n=1750\\ \mathrm{rpm}.
  • Número de pás: z=5.
O enunciado pede:
  1. Determinar a pressão máxima da bomba, corrigida para um número finito de pás (ou seja, considerar o efeito de “slip” pelo número finito de pás).
  2. Determinar a vazão nominal de projeto.
Observações (informações que vou usar, sem pedir nada mais):
  • A fluido presumido será água com massa específica \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}. (Como o enunciado é genérico e não informa o fluido, esta é a hipótese usual.)
  • Vou usar uma fórmula empírica simples para o fator de “slip” \sigma adequada a pás curvadas para trás: \sigma \approx 1 - \dfrac{\pi}{z}\sin\beta_{2}. Existem outras fórmulas mais sofisticadas, mas esta é uma aproximação comum e suficiente para um cálculo estimado pedido em prova.

Passo 2

Principais conceitos e equações que vou aplicar (aula curta e direta):
  1. Velocidade periférica na saída do rotor: a velocidade linear do bordo externo (velocidade tangencial do fluido na posição r_{2}) é
U_{2}=\frac{\pi D_{2} n}{60},
onde D_{2} está em metros e n em rpm. Explicando: n/60 é a rotação em rotações por segundo; uma volta tem comprimento \pi D_{2}, logo U_{2}=\pi D_{2}\cdot (n/60).
  1. Equação de Euler (versão para bomba, cabeça teórica por estágio):
H=\frac{U_{2}V_{u2}-U_{1}V_{u1}}{g}.
Aqui:
  • H é a altura (head) teórica produzida pela roda (em metros).
  • U_{1},U_{2} são as velocidades periféricas nas posições 1 e 2.
  • V_{u1},V_{u2} são as componentes tangenciais da velocidade absoluta do fluido nas seções 1 e 2.
    No nosso caso assumimos que não há pré-giro na entrada (vazão sem pré-whirl), isto é V_{u1}\approx 0. Assim
H\approx\frac{U_{2}V_{u2}}{g}.
  1. Geometria do triângulo de velocidades na saída:
  • A velocidade relativa W_{2} forma com a tangente o ângulo \beta_{2}. Assim
\tan\beta_{2}=\frac{W_{r2}}{W_{u2}},
ou seja W_{u2}= \dfrac{W_{r2}}{\tan\beta_{2}}.
  • A componente radial absoluta V_{r2} é igual à componente radial relativa W_{r2} (o movimento do rotor não tem componente radial). A continuidade na seção de saída dá
Q=2\pi r_{2} b\,V_{r2}=2\pi r_{2} b\,W_{r2},
onde r_{2}=D_{2}/2 e b é a largura na saída.
  1. Relação entre V_{u2}, U_{2} e W_{u2}: pela definição das velocidades relativas/absolutas
V_{u2}=U_{2}-W_{u2}.
  1. Efeito do número finito de pás (slip): o resultado teórico de Euler é reduzido pelo fator de slip \sigma. Uma forma prática de introduzir isso é considerar que a componente tangencial efetiva no escoamento é reduzida, de modo que a cabeça efetiva será
H_{\text{ef}}=\frac{U_{2}\,V_{u2,\text{ef}}}{g}=\frac{U_{2}\bigl(U_{2}-\sigma W_{u2}\bigr)}{g}.
No ponto de fechamento (vazão nula) temos W_{u2}=0 e a cabeça de bloqueio ideal seria U_{2}^{2}/g; com slip a cabeça máxima ajustada fica
H_{\max}=\frac{\sigma U_{2}^{2}}{g}.
Explicação: a presença de um número finito de pás faz com que o impulso tangencial transferido ao fluido seja menor que o ideal; o parâmetro \sigma corrige isso.

Passo 3

Derivar relação H(Q) utilizável em prova (passo-a-passo, sem pular etapas):
  1. Continuity: escrever W_{r2} em função de Q:
W_{r2}= \frac{Q}{2\pi r_{2} b}.
  1. Usar a definição de \tan\beta_{2} para obter W_{u2}:
W_{u2}=\frac{W_{r2}}{\tan\beta_{2}}=\frac{1}{\tan\beta_{2}}\cdot\frac{Q}{2\pi r_{2} b}.
  1. Com slip incorporado, a componente tangencial efetiva é V_{u2}=U_{2}-\sigma W_{u2}. Assim a cabeça efetiva é
H(Q)=\frac{U_{2}V_{u2}}{g}=\frac{U_{2}\bigl(U_{2}-\sigma W_{u2}\bigr)}{g}.
  1. Substituindo W_{u2} em termos de Q,
H(Q)=\frac{1}{g}\Biggl(U_{2}^{2}-U_{2}\sigma\underbrace{\left(\frac{1}{\tan\beta_{2}}\cdot\frac{Q}{2\pi r_{2} b}\right)}_{W_{u2}}\Biggr).
Esta é uma expressão linear do tipo H=H_{\max}-KQ onde H_{\max}=\dfrac{\sigma U_{2}^{2}}{g} e a constante de declive (sensibilidade de H com Q) é
K=\frac{\sigma U_{2}}{g}\cdot\frac{1}{2\pi r_{2} b\tan\beta_{2}}.
  1. Cabeça máxima (vazão nula): colocamos Q=0 e obtemos
H_{\max}=\frac{\sigma U_{2}^{2}}{g}.
  1. Pressão máxima correspondente (diferença de pressão produzido pela bomba em descarga fechada) é
\Delta p_{\max}=\rho g H_{\max}=\rho\,\sigma U_{2}^{2}.
Observação: essa expressão é simples e útil: a pressão máxima depende da densidade, do quadrado da velocidade periférica e do fator de slip.

Passo 4

Escolha da expressão para o fator de slip \sigma e cálculo numérico dos parâmetros intermediários (serei bem claro nas contas para que dê pra replicar sem calculadora com cuidado).
Vou usar a fórmula empírica simples:
\sigma \approx 1 - \frac{\pi}{z}\sin\beta_{2}.
(Justificativa: é uma aproximação frequentemente usada em exercícios elementares; para valores pequenos de z como 5 ela dá uma redução significativa e é consistente com resultados experimentais qualitativos.)
Agora passo aos números (converter tudo para SI):
  • D_{2}=300\\ \mathrm{mm}=0{,}300\\ \mathrm{m}\Rightarrow r_{2}=0{,}150\\ \mathrm{m}.
  • b=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • n=1750\\ \mathrm{rpm}.
  • \beta_{2}=35^\circ.
  • z=5.
  1. Calcular U_{2}:
U_{2}=\frac{\pi D_{2} n}{60}=\frac{\pi\cdot 0{,}300\cdot 1750}{60}.
Calcule passo a passo:
\frac{1750}{60}=29{,}166\ldots
\pi\cdot 0{,}300\cdot 29{,}166\ldots \approx \pi\cdot 8{,}75 \approx 27{,}49\\ \mathrm{m/s}.
Logo
U_{2}\approx 27{,}49\\ \mathrm{m/s}.
  1. Calcular \sigma usando a fórmula escolhida:
\sin 35^\circ \approx 0{,}573576\ldots
\frac{\pi}{z}=\frac{\pi}{5}\approx 0{,}628319.
\frac{\pi}{z}\sin\beta_{2}\approx 0{,}628319\times 0{,}573576\approx 0{,}360.
\sigma \approx 1-0{,}360=0{,}640\\ (\text{aprox.}).
  1. Cabeça máxima H_{\max}:
H_{\max}=\frac{\sigma U_{2}^{2}}{g}.
Calcule U_{2}^{2}:
U_{2}^{2}\approx 27{,}49^{2}\approx 755{,}7\\ (\mathrm{m^{2}/s^{2}}).
Multiplicando por \sigma:
\sigma U_{2}^{2}\approx 0{,}640\times 755{,}7\approx 483{,}65.
Dividindo por g=9{,}81:
H_{\max}\approx \frac{483{,}65}{9{,}81}\approx 49{,}3\\ \mathrm{m}.
  1. Pressão máxima \Delta p_{\max}:
\Delta p_{\max}=\rho g H_{\max}=\rho\,\sigma U_{2}^{2}.
Usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},
\Delta p_{\max}\approx 1000\times 0{,}640\times 755{,}7\approx 4{,}8365\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais usuais:
\Delta p_{\max}\approx 4{,}84\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}\approx 4{,}84\\ \mathrm{bar}.

Passo 5

Determinar a vazão nominal de projeto (escolha do critério e cálculo).
Explicação do critério (escolha feita e justificada): o enunciado não dá qual critério fixar para “vazão nominal de projeto” (pode variar conforme política de projeto: ponto de melhor eficiência, meio da curva H–Q, etc.). Uma escolha simples e comum em exercícios quando não há outro critério é tomar o ponto intermediário da curva H–Q (ou seja, a vazão correspondente à metade da cabeça de bloqueio), porque é um compromisso prático entre alta cabeça e alta vazão. Vou adotar esse critério de prova: definir vazão nominal Q_{\text{nom}} tal que H(Q_{\text{nom}})=\dfrac{H_{\max}}{2}.
Usando a expressão linear obtida para H(Q):
H(Q)=\frac{1}{g}\left(U_{2}^{2}-U_{2}\sigma\frac{Q}{2\pi r_{2} b\tan\beta_{2}}\right).
Colocando H=\dfrac{H_{\max}}{2}=\dfrac{\sigma U_{2}^{2}}{2g} e multiplicando ambos os lados por g e simplificando, obtemos
U_{2}^{2}-U_{2}\sigma\frac{Q_{\text{nom}}}{2\pi r_{2} b\tan\beta_{2}}=\frac{\sigma U_{2}^{2}}{2}.
Reorganizando:
U_{2}\sigma\frac{Q_{\text{nom}}}{2\pi r_{2} b\tan\beta_{2}}=U_{2}^{2}\left(1-\frac{\sigma}{2}\right).
Cancelando um U_{2} e isolando Q_{\text{nom}}:
Q_{\text{nom}}=\frac{2\pi r_{2} b\tan\beta_{2}}{\sigma}\;U_{2}\left(1-\frac{\sigma}{2}\right).
Mas observe que, ao inserir H_{\max}=\sigma U_{2}^{2}/g e resolver, a expressão se simplifica de forma elegante se adotarmos diretamente o critério “H = H_{\max}/2”: o resultado numérico equivalente (e mais simples de lembrar) é
Q_{\text{nom}}=\pi r_{2} b U_{2}\tan\beta_{2},
ou seja exatamente metade da vazão máxima teórica (onde H=0) no caso sem complicar pela \sigma. (Note que essa simplificação aparece porque fixamos H na metade de H_{\max}; se quisesse outro ponto, apareceria \sigma explicitamente.)
Calcule Q_{\text{nom}} numericamente:
  • Primeiro calcule \pi r_{2} b:
\pi r_{2} b=\pi\times 0{,}150\times 0{,}005=\pi\times 0{,}00075\approx 0{,}0023562\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Multiplique por U_{2}:
0{,}0023562\times 27{,}49\approx 0{,}06489\\ \mathrm{m^{3}/s\cdot (1/\tan)}.
  • Multiplique por \tan\beta_{2} com \tan35^\circ\approx 0{,}7002:
Q_{\text{nom}}\approx 0{,}06489\times 0{,}7002\approx 0{,}0454\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Converter para litros por segundo e litros por minuto:
Q_{\text{nom}}\approx 0{,}0454\\ \mathrm{m^{3}/s}=45{,}4\\ \mathrm{L/s}\approx 2724\\ \mathrm{L/min}.

Passo 6

Resumo numérico final dos valores calculados (resultados intermediários já mostrados):
  • U_{2}\approx 27{,}49\\ \mathrm{m/s}.
  • \sigma\approx 0{,}64.
  • Cabeça máxima H_{\max}\approx 49{,}3\\ \mathrm{m}.
  • Pressão máxima \Delta p_{\max}\approx 4{,}84\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}\approx 4{,}84\\ \mathrm{bar}.
  • Vazão nominal de projeto (ponto médio H–Q): Q_{\text{nom}}\approx 0{,}0454\\ \mathrm{m^{3}/s}\approx 45{,}4\\ \mathrm{L/s}.

Resposta

Pressão máxima (correção por número finito de pás): \Delta p_{\max}\approx 4{,}84\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (aprox. 4{,}84\\ \mathrm{bar})
Vazão nominal de projeto: Q_{\text{nom}}\approx 0{,}0454\\ \mathrm{m^{3}/s} (aprox. 45{,}4\\ \mathrm{L/s})

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