Exercício 01 (Roma, 3.1): Para tentar utilizar uma bomba centrífuga existente no almoxarifado e sem os dados técnicos do fabricante, procedeu-se a uma medida do rotor da máquina com 5 pás e foram encontradas as seguintes medidas: a) Diâmetro do rotor: \mathrm{D}_{2}=300 \mathrm{~mm}; Diâmetro da entrada do rotor: \mathrm{D}_{1}=150 \mathrm{~mm}; Ângulo de saída da pá: \beta_{2}=35^{\circ}; Largura do rotor na saída: \mathrm{b}=5 \mathrm{~mm}; Rotação de trabalho: 1750 rpm . Com estes dados disponíveis, determine a pressão máxima da bomba, corrigida para um número finito de pás. Determine também a vazão nominal de projeto.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
Diâmetro do rotor na saída: \mathrm{D}_{2}=300\\ \mathrm{mm}.
Diâmetro da entrada do rotor: \mathrm{D}_{1}=150\\ \mathrm{mm}.
Ângulo de saída da pá (medido em relação à tangente, isto é, ângulo da pá no ponto de saída): \beta_{2}=35^\circ.
Largura do rotor na saída: \mathrm{b}=5\\ \mathrm{mm}.
Rotação de trabalho: n=1750\\ \mathrm{rpm}.
Número de pás: z=5.
O enunciado pede:
Determinar a pressão máxima da bomba, corrigida para um número finito de pás (ou seja, considerar o efeito de “slip” pelo número finito de pás).
Determinar a vazão nominal de projeto.
Observações (informações que vou usar, sem pedir nada mais):
A fluido presumido será água com massa específica \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}. (Como o enunciado é genérico e não informa o fluido, esta é a hipótese usual.)
Vou usar uma fórmula empírica simples para o fator de “slip” \sigma adequada a pás curvadas para trás: \sigma \approx 1 - \dfrac{\pi}{z}\sin\beta_{2}. Existem outras fórmulas mais sofisticadas, mas esta é uma aproximação comum e suficiente para um cálculo estimado pedido em prova.
Passo 2
Principais conceitos e equações que vou aplicar (aula curta e direta):
Velocidade periférica na saída do rotor: a velocidade linear do bordo externo (velocidade tangencial do fluido na posição r_{2}) é
U_{2}=\frac{\pi D_{2} n}{60},
onde D_{2} está em metros e n em rpm. Explicando: n/60 é a rotação em rotações por segundo; uma volta tem comprimento \pi D_{2}, logo U_{2}=\pi D_{2}\cdot (n/60).
Equação de Euler (versão para bomba, cabeça teórica por estágio):
H=\frac{U_{2}V_{u2}-U_{1}V_{u1}}{g}.
Aqui:
H é a altura (head) teórica produzida pela roda (em metros).
U_{1},U_{2} são as velocidades periféricas nas posições 1 e 2.
V_{u1},V_{u2} são as componentes tangenciais da velocidade absoluta do fluido nas seções 1 e 2.
No nosso caso assumimos que não há pré-giro na entrada (vazão sem pré-whirl), isto é V_{u1}\approx 0. Assim
H\approx\frac{U_{2}V_{u2}}{g}.
Geometria do triângulo de velocidades na saída:
A velocidade relativa W_{2} forma com a tangente o ângulo \beta_{2}. Assim
\tan\beta_{2}=\frac{W_{r2}}{W_{u2}},
ou seja W_{u2}= \dfrac{W_{r2}}{\tan\beta_{2}}.
A componente radial absoluta V_{r2} é igual à componente radial relativa W_{r2} (o movimento do rotor não tem componente radial). A continuidade na seção de saída dá
Q=2\pi r_{2} b\,V_{r2}=2\pi r_{2} b\,W_{r2},
onde r_{2}=D_{2}/2 e b é a largura na saída.
Relação entre V_{u2}, U_{2} e W_{u2}: pela definição das velocidades relativas/absolutas
V_{u2}=U_{2}-W_{u2}.
Efeito do número finito de pás (slip): o resultado teórico de Euler é reduzido pelo fator de slip \sigma. Uma forma prática de introduzir isso é considerar que a componente tangencial efetiva no escoamento é reduzida, de modo que a cabeça efetiva será
No ponto de fechamento (vazão nula) temos W_{u2}=0 e a cabeça de bloqueio ideal seria U_{2}^{2}/g; com slip a cabeça máxima ajustada fica
H_{\max}=\frac{\sigma U_{2}^{2}}{g}.
Explicação: a presença de um número finito de pás faz com que o impulso tangencial transferido ao fluido seja menor que o ideal; o parâmetro \sigma corrige isso.
Passo 3
Derivar relação H(Q) utilizável em prova (passo-a-passo, sem pular etapas):
Continuity: escrever W_{r2} em função de Q:
W_{r2}= \frac{Q}{2\pi r_{2} b}.
Usar a definição de \tan\beta_{2} para obter W_{u2}:
Cabeça máxima (vazão nula): colocamos Q=0 e obtemos
H_{\max}=\frac{\sigma U_{2}^{2}}{g}.
Pressão máxima correspondente (diferença de pressão produzido pela bomba em descarga fechada) é
\Delta p_{\max}=\rho g H_{\max}=\rho\,\sigma U_{2}^{2}.
Observação: essa expressão é simples e útil: a pressão máxima depende da densidade, do quadrado da velocidade periférica e do fator de slip.
Passo 4
Escolha da expressão para o fator de slip \sigma e cálculo numérico dos parâmetros intermediários (serei bem claro nas contas para que dê pra replicar sem calculadora com cuidado).
Vou usar a fórmula empírica simples:
\sigma \approx 1 - \frac{\pi}{z}\sin\beta_{2}.
(Justificativa: é uma aproximação frequentemente usada em exercícios elementares; para valores pequenos de z como 5 ela dá uma redução significativa e é consistente com resultados experimentais qualitativos.)
Determinar a vazão nominal de projeto (escolha do critério e cálculo).
Explicação do critério (escolha feita e justificada): o enunciado não dá qual critério fixar para “vazão nominal de projeto” (pode variar conforme política de projeto: ponto de melhor eficiência, meio da curva H–Q, etc.). Uma escolha simples e comum em exercícios quando não há outro critério é tomar o ponto intermediário da curva H–Q (ou seja, a vazão correspondente à metade da cabeça de bloqueio), porque é um compromisso prático entre alta cabeça e alta vazão. Vou adotar esse critério de prova: definir vazão nominal Q_{\text{nom}} tal que H(Q_{\text{nom}})=\dfrac{H_{\max}}{2}.
Mas observe que, ao inserir H_{\max}=\sigma U_{2}^{2}/g e resolver, a expressão se simplifica de forma elegante se adotarmos diretamente o critério “H = H_{\max}/2”: o resultado numérico equivalente (e mais simples de lembrar) é
Q_{\text{nom}}=\pi r_{2} b U_{2}\tan\beta_{2},
ou seja exatamente metade da vazão máxima teórica (onde H=0) no caso sem complicar pela \sigma. (Note que essa simplificação aparece porque fixamos H na metade de H_{\max}; se quisesse outro ponto, apareceria \sigma explicitamente.)