Exercicio 02. Um gás ideal (1 mol) estás em 300 K . a) Calcule a energia de E. b) Mostre duas maneiras de aumentar a energia de 1J?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Informação: um gás ideal com
mol está à temperatura . - Pergunta (a): Calcule a energia
(entenda isto como a energia interna do gás). - Pergunta (b): Mostre duas maneiras de aumentar a energia em
.
Observação importante (informação do enunciado): não foi especificado se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico. Isso altera o valor numérico da energia interna porque depende dos graus de liberdade. Essa falta de informação é relevante e será tratada nos próximos passos: vou resolver supondo o caso mais comum em exercícios elementares (gás monoatômico) e depois mostrar a fórmula geral para comparar.
Passo 2
Conceito e fórmula principal: energia interna de um gás ideal
- Para um gás ideal a energia interna
depende apenas da temperatura. A fórmula geral para mols é
onde:
-
é a energia interna (joules), -
é o número de mols, -
é a capacidade calorífica molar a volume constante (J·mol{-1}·K{-1}), -
é a temperatura absoluta (K).
Explicando
e graus de liberdade: para um gás ideal com
graus de liberdade (translação + rotação, vibração desprezada se não excitada), vale
onde
é a constante dos gases.
Para um gás monoatômico temos
(apenas 3 graus de liberdade de translação), portanto
Cálculo explícito para
mol,
e gás monoatômico:
Agora calculamos passo a passo:
Portanto, sob a suposição de gás monoatômico,
Passo 3
Comentário sobre a ambiguidade (gás não especificado) e fórmula geral
- Se o gás não for monoatômico, usa-se a fórmula geral para
:
Exemplos numéricos rápidos (para comparação):
- Diatômico típico (
): - Poliatômico não-linear (
): - Conclusão: o valor numérico de
depende de . No Passo 2 eu dei a resposta para o caso monoatômico, que é a suposição padrão a menos que o enunciado diga outra coisa.
Passo 4
Como aumentar a energia interna em
: ideias físicas e a conta
Princípio chave: para um gás ideal a variação de energia interna depende só de variação de temperatura:
Princípio chave: para um gás ideal a variação de energia interna depende só de variação de temperatura:
Assim, para aumentar
em
basta aumentar a temperatura em
Método 1 — aquecer a volume fixo (processo isocórico, fornecer calor):
- Escolhendo o caso monoatômico (
) e , temos
Calculando:
Interpretação didática e prática: bastam
de calor fornecido isocoricamente (ou seja, sem trabalho de expansão) para aumentar a energia interna em
. Esse aquecimento eleva a temperatura em aproximadamente
, um valor muito pequeno — por isso um joule é pouca energia para 1 mol.
Método 2 — fazer trabalho sobre o gás (compressão adiabática reversível, por exemplo):
- Pela primeira lei da termodinâmica,
onde
é o trabalho realizado pelo sistema. Em um processo adiabático reversível
, então
Se o trabalho é feito sobre o gás (compressão), o trabalho realizado pelo sistema é negativo e portanto
aumenta. Para aumentar
em
basta executar
de trabalho sobre o gás (isto é, fornecer
de trabalho por compressão). Para um processo adiabático reversível em gás monoatômico usa-se ainda a relação
com
para monoatômico. Se quisermos quantificar a compressão necessária, tomamos
(obtido no Método 1) e resolvemos para
:
Calculando numericamentte:
Ou seja, uma compressão muito pequena (cerca de
de redução do volume) feita reversivelmente e adiabaticamente, com trabalho sobre o gás de
, aumenta a energia interna em
.
Resumo físico das duas maneiras:
- Dar
de calor ao gás a volume constante (isochoric heating): . - Fazer
de trabalho sobre o gás (compressão adiabática reversível, por exemplo): trabalho convertido em energia interna, .
Passo 5
Pequena interpretação e ânimo: o cálculo mostra que para 1 mol de gás monoatômico à
a energia interna é da ordem de
. Aumentar essa energia em
precisa de um acréscimo de temperatura muito pequeno (aprox.
), o que explica por que um joule é uma quantidade pequena para um sistema com muitos átomos. Força — você já entendeu o raciocínio físico: energia interna depende de temperatura; para mudá-la pode-se fornecer calor ou realizar trabalho sobre o gás.
Resposta
Duas maneiras de aumentar a energia em