Exercicio 02. Um gás ideal (1 mol) estás em 300 K . a) Calcule a energia de E. b) Mostre duas maneiras de aumentar a energia de 1J?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informação: um gás ideal com n=1 mol está à temperatura T=300\\ \text{K}.
  • Pergunta (a): Calcule a energia E (entenda isto como a energia interna do gás).
  • Pergunta (b): Mostre duas maneiras de aumentar a energia em 1\\ \text{J}.
Observação importante (informação do enunciado): não foi especificado se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico. Isso altera o valor numérico da energia interna porque depende dos graus de liberdade. Essa falta de informação é relevante e será tratada nos próximos passos: vou resolver supondo o caso mais comum em exercícios elementares (gás monoatômico) e depois mostrar a fórmula geral para comparar.

Passo 2

Conceito e fórmula principal: energia interna de um gás ideal
  • Para um gás ideal a energia interna U depende apenas da temperatura. A fórmula geral para n mols é
U = n C_V T,
onde:
  • U é a energia interna (joules),
  • n é o número de mols,
  • C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (J·mol{-1}·K{-1}),
  • T é a temperatura absoluta (K).
Explicando C_V e graus de liberdade: para um gás ideal com f graus de liberdade (translação + rotação, vibração desprezada se não excitada), vale
C_V = \frac{f}{2}R,
onde R=8{,}314\\ \text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1} é a constante dos gases.
Para um gás monoatômico temos f=3 (apenas 3 graus de liberdade de translação), portanto
C_V = \frac{3}{2}R.
Cálculo explícito para n=1 mol, T=300\\ \text{K} e gás monoatômico:
U = n C_V T = 1\cdot\frac{3}{2}R\cdot300.
Agora calculamos passo a passo:
R\cdot300 = 8{,}314\times300 = 2494{,}2\\ \text{J·mol}^{-1},
\frac{3}{2}\times2494{,}2 = 1{,}5\times2494{,}2 = 3741{,}3\\ \text{J}.
Portanto, sob a suposição de gás monoatômico,
U = 3741{,}3\\ \text{J}.

Passo 3

Comentário sobre a ambiguidade (gás não especificado) e fórmula geral
  • Se o gás não for monoatômico, usa-se a fórmula geral para n=1:
U = \frac{f}{2}R T.
Exemplos numéricos rápidos (para comparação):
  • Diatômico típico ( f=5): U = \dfrac{5}{2}RT = 2{,}5\times2494{,}2 = 6235{,}5\\ \text{J}.
  • Poliatômico não-linear ( f=6): U = 3RT = 3\times2494{,}2 = 7482{,}6\\ \text{J}.
  • Conclusão: o valor numérico de U depende de f. No Passo 2 eu dei a resposta para o caso monoatômico, que é a suposição padrão a menos que o enunciado diga outra coisa.

Passo 4

Como aumentar a energia interna em 1\\ \text{J}: ideias físicas e a conta
Princípio chave: para um gás ideal a variação de energia interna depende só de variação de temperatura:
\Delta U = n C_V \Delta T.
Assim, para aumentar U em \Delta U=1\\ \text{J} basta aumentar a temperatura em
\Delta T = \frac{\Delta U}{n C_V}.
Método 1 — aquecer a volume fixo (processo isocórico, fornecer calor):
  • Escolhendo o caso monoatômico ( C_V=\tfrac{3}{2}R) e n=1, temos
\Delta T = \frac{1}{1\cdot \tfrac{3}{2}R} = \frac{1}{\tfrac{3}{2}\times8{,}314}.
Calculando:
\tfrac{3}{2}R = 1{,}5\times8{,}314 = 12{,}471\\ \text{J·K}^{-1},
\Delta T = \frac{1}{12{,}471} \approx 0{,}08016\\ \text{K}.
Interpretação didática e prática: bastam 1\\ \text{J} de calor fornecido isocoricamente (ou seja, sem trabalho de expansão) para aumentar a energia interna em 1\\ \text{J}. Esse aquecimento eleva a temperatura em aproximadamente 0{,}0802\\ \text{K}, um valor muito pequeno — por isso um joule é pouca energia para 1 mol.
Método 2 — fazer trabalho sobre o gás (compressão adiabática reversível, por exemplo):
  • Pela primeira lei da termodinâmica,
\Delta U = Q - W,
onde W é o trabalho realizado pelo sistema. Em um processo adiabático reversível Q=0, então
\Delta U = -W.
Se o trabalho é feito sobre o gás (compressão), o trabalho realizado pelo sistema é negativo e portanto \Delta U aumenta. Para aumentar \Delta U em 1\\ \text{J} basta executar 1\\ \text{J} de trabalho sobre o gás (isto é, fornecer 1\\ \text{J} de trabalho por compressão). Para um processo adiabático reversível em gás monoatômico usa-se ainda a relação
T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1},
com \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}=\dfrac{5}{3} para monoatômico. Se quisermos quantificar a compressão necessária, tomamos T_2=T_1+\Delta T=300{,}08016\\ \text{K} (obtido no Método 1) e resolvemos para V_2:
\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\tfrac{1}{\gamma-1}} = \left(\frac{300}{300{,}08016}\right)^{\tfrac{1}{2/3}} = \left(\frac{300}{300{,}08016}\right)^{1{,}5}.
Calculando numericamentte:
\frac{V_2}{V_1} \approx 0{,}9995991.
Ou seja, uma compressão muito pequena (cerca de 0{,}040\% de redução do volume) feita reversivelmente e adiabaticamente, com trabalho sobre o gás de 1\\ \text{J}, aumenta a energia interna em 1\\ \text{J}.
Resumo físico das duas maneiras:
  • Dar 1\\ \text{J} de calor ao gás a volume constante (isochoric heating): \Delta U = Q_V = 1\\ \text{J}.
  • Fazer 1\\ \text{J} de trabalho sobre o gás (compressão adiabática reversível, por exemplo): trabalho convertido em energia interna, \Delta U = 1\\ \text{J}.

Passo 5

Pequena interpretação e ânimo: o cálculo mostra que para 1 mol de gás monoatômico à 300\\ \text{K} a energia interna é da ordem de 3{,}7\times10^{3}\\ \text{J}. Aumentar essa energia em 1\\ \text{J} precisa de um acréscimo de temperatura muito pequeno (aprox. 0{,}08\\ \text{K}), o que explica por que um joule é uma quantidade pequena para um sistema com muitos átomos. Força — você já entendeu o raciocínio físico: energia interna depende de temperatura; para mudá-la pode-se fornecer calor ou realizar trabalho sobre o gás.

Resposta

U = 3741{,}3\\ \text{J} (assumindo gás monoatômico, n=1, T=300\\ \text{K}).
Duas maneiras de aumentar a energia em 1\\ \text{J}: fornecer 1\\ \text{J} de calor a volume constante (aumenta a temperatura em \Delta T \approx 0{,}08016\\ \text{K}); ou realizar 1\\ \text{J} de trabalho sobre o gás (compressão adiabática reversível), o que também aumenta U em 1\\ \text{J}.

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