Exercício 03: Demonstre que os seguintes conjuntos de proposições são inconsistentes, deduzindo uma contradição para cada um deles.
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
Passo 1
O enunciado nos dá três proposições (peguei exatamente do enunciado):
- (1)
- (2)
- (3)
O que pede: demonstrar que esse conjunto de proposições é inconsistente, isto é, a partir dessas três fórmulas deduzir uma contradição (duas fórmulas mutuamente incompatíveis, por exemplo
e
).
Passo 2
Vou listar e explicar as regras lógicas que vou usar (com exemplos pequenos) — não se assuste, são regrinhas simples que aparecem muito em prova:
- Lei de De Morgan (para disjunção):
é logicamente equivalente a . Isso significa que negar a disjunção é o mesmo que negar cada disjuntor e juntá-los com . Ex.: negar “hoje chove ou faz sol” é o mesmo que “não chove e não faz sol”. - Eliminação da conjunção: de
pode-se inferir e também separadamente. Ex.: de “estudei e fui dormir cedo” segue “estudei”. - Silogismo disjuntivo (disjunction elimination / disjunctive syllogism): de
e pode-se inferir . Ex.: se “vou ao cinema ou fico em casa” e “não vou ficar em casa”, então “vou ao cinema”. - Modus Ponens: de
e segue . Ex.: se “se chove então pego guarda‑chuva” e “está chovendo”, então “pego guarda‑chuva”.
Usarei essas regras passo a passo para obter uma contradição.
Passo 3
Aplicar De Morgan na premissa (2). A premissa é
. Pela equivalência de De Morgan,
é equivalente a
.
Portanto, a partir de (2) podemos inferir
.
Portanto, a partir de (2) podemos inferir
Passo 4
Eliminar a conjunção obtida no passo anterior para separar as negativas:
de obtemos duas fórmulas:
de
-
, -
.
Passo 5
Agora use a premissa (3), que é
, junto com
(que acabamos de obter). Pela regra do silogismo disjuntivo, de
e
segue
.
Logo inferimos .
Logo inferimos
Passo 6
Use a premissa (1), que é
, junto com o
deduzido no passo anterior. Pelo Modus Ponens, de
e
segue
.
Logo inferimos .
Logo inferimos
Passo 7
Agora temos duas fórmulas contraditórias simultaneamente:
-
(do passo 6), -
(do passo 4).
Isso é uma contradição (uma fórmula e sua negação). Portanto o conjunto de premissas é inconsistente — deduzimos
(ou, equivalentemente,
).