Exercício 03: Demonstre que os seguintes conjuntos de proposições são inconsistentes, deduzindo uma contradição para cada um deles.
(1) q \rightarrow p
(2) \neg(p \vee r)
(3) q \vee r

Passo 1

O enunciado nos dá três proposições (peguei exatamente do enunciado):
  • (1) q \rightarrow p
  • (2) \neg(p \vee r)
  • (3) q \vee r
O que pede: demonstrar que esse conjunto de proposições é inconsistente, isto é, a partir dessas três fórmulas deduzir uma contradição (duas fórmulas mutuamente incompatíveis, por exemplo p e \neg p).

Passo 2

Vou listar e explicar as regras lógicas que vou usar (com exemplos pequenos) — não se assuste, são regrinhas simples que aparecem muito em prova:
  • Lei de De Morgan (para disjunção): \neg(p \vee r) é logicamente equivalente a \neg p \land \neg r. Isso significa que negar a disjunção é o mesmo que negar cada disjuntor e juntá-los com \land. Ex.: negar “hoje chove ou faz sol” é o mesmo que “não chove e não faz sol”.
  • Eliminação da conjunção: de \alpha \land \beta pode-se inferir \alpha e também \beta separadamente. Ex.: de “estudei e fui dormir cedo” segue “estudei”.
  • Silogismo disjuntivo (disjunction elimination / disjunctive syllogism): de A \vee B e \neg B pode-se inferir A. Ex.: se “vou ao cinema ou fico em casa” e “não vou ficar em casa”, então “vou ao cinema”.
  • Modus Ponens: de A \rightarrow B e A segue B. Ex.: se “se chove então pego guarda‑chuva” e “está chovendo”, então “pego guarda‑chuva”.
Usarei essas regras passo a passo para obter uma contradição.

Passo 3

Aplicar De Morgan na premissa (2). A premissa é \neg(p \vee r). Pela equivalência de De Morgan,
\neg(p \vee r) é equivalente a \neg p \land \neg r.
Portanto, a partir de (2) podemos inferir
\neg p \land \neg r.

Passo 4

Eliminar a conjunção obtida no passo anterior para separar as negativas:
de \neg p \land \neg r obtemos duas fórmulas:
  • \neg p,
  • \neg r.

Passo 5

Agora use a premissa (3), que é q \vee r, junto com \neg r (que acabamos de obter). Pela regra do silogismo disjuntivo, de q \vee r e \neg r segue q.
Logo inferimos q.

Passo 6

Use a premissa (1), que é q \rightarrow p, junto com o q deduzido no passo anterior. Pelo Modus Ponens, de q \rightarrow p e q segue p.
Logo inferimos p.

Passo 7

Agora temos duas fórmulas contraditórias simultaneamente:
  • p (do passo 6),
  • \neg p (do passo 4).
Isso é uma contradição (uma fórmula e sua negação). Portanto o conjunto de premissas é inconsistente — deduzimos p \land \neg p (ou, equivalentemente, \bot).

Resposta

p \land \neg p

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