Exercício 03: Demonstre que os seguintes conjuntos de proposições são inconsistentes, deduzindo uma contradição para cada um deles.
(1) (p \vee s) \rightarrow q
(2) q \rightarrow \neg r
(3) t \rightarrow p
(4) t \wedge r

Passo 1

O enunciado fornece quatro proposições (premissas) e pede para demonstrar que o conjunto é inconsistente, ou seja, deduzir uma contradição a partir delas. As premissas são:
(1) (p \vee s) \rightarrow q
(2) q \rightarrow \neg r
(3) t \rightarrow p
(4) t \wedge r
Objetivo: a partir dessas quatro fórmulas, deduzir uma contradição (por exemplo r \wedge \neg r ou o símbolo de falso \bot).

Passo 2

Vou extrair informações diretas da premissa (4). Da conjunção (t \wedge r) podemos obter cada uma das suas componentes separadamente: t e r.
Explicação da regra usada (eliminação da conjunção): se se tem \varphi \wedge \psi, então pode-se inferir \varphi (e também, separadamente, \psi). Aplicando isso:
  • A partir de (4) obtemos t.
  • A partir de (4) obtemos r.
(Isto é óbvio na prática: ter “t e r” significa ter “t” e também ter “r”.)

Passo 3

Agora uso a premissa (3) que é uma implicação (t \rightarrow p) junto com o fato que obtivemos t no passo anterior, para deduzir p.
Explicação da regra usada (modus ponens / eliminação da implicação): se se tem \varphi \rightarrow \psi e também \varphi, então se pode inferir \psi. Aqui:
  • de (3) (t \rightarrow p) e de t (do passo 2) segue p.
Exemplo curto para fixar: se sabemos “se chover então eu levo guarda-chuva” e sabemos “está chovendo”, então concluímos “levo guarda-chuva”. Mesma ideia lógica.

Passo 4

Com p em mãos, posso formar a disjunção p \vee s.
Explicação da regra usada (introdução da disjunção): a partir de \varphi é sempre válida a inferência \varphi \vee \psi (ou seja, se \varphi é verdadeiro, então a disjunção \varphi ou qualquer outra coisa também é verdadeira). Aplicando:
  • de p segue p \vee s.
Pequeno lembrete prático: introduzir uma disjunção é uma operação simples e muito usada para ativar implicações do tipo (\text{algo} \vee \dots) \rightarrow \dots.

Passo 5

Agora uso a premissa (1) ((p \vee s) \rightarrow q) junto com p \vee s (do passo 4) para deduzir q.
Aplicação do modus ponens novamente: de (p \vee s) \rightarrow q e de p \vee s segue q.

Passo 6

Com q obtido, uso a premissa (2) (q \rightarrow \neg r) para deduzir \neg r.
Novamente modus ponens: de q e de q \rightarrow \neg r segue \neg r.
Aqui \neg r significa "não r".

Passo 7

Finalmente, compare os dois fatos que já tínhamos:
  • do passo 2 temos r,
  • do passo 6 temos \neg r.
Ter simultaneamente r e \neg r é uma contradição lógica. Podemos escrevê-la como r \wedge \neg r ou simplesmente como o símbolo de falso \bot.
Explicação conceitual: uma teoria (conjunto de premissas) que permite deduzir uma proposição e simultaneamente sua negação é inconsistente; na prática, deduzimos uma contradição, o que conclui a demonstração de inconsistencia.

Passo 8

Resumo do encadeamento (para você poder reproduzir na prova, passo a passo):
  • de (4) t \wedge r obtém-se t e r (eliminação da conjunção);
  • de (3) t \rightarrow p e t obtém-se p (modus ponens);
  • de p obtém-se p \vee s (introdução da disjunção);
  • de (1) (p \vee s) \rightarrow q e p \vee s obtém-se q (modus ponens);
  • de (2) q \rightarrow \neg r e q obtém-se \neg r (modus ponens);
  • daí r e \neg r (contradição), logo o conjunto é inconsistente.
Você chegou ao objetivo: demonstrar a inconsistência. Boa! Na prova faça esses passos claros e indique a regra usada em cada passo — isso ganha ponto e mostra domínio.

Resposta

r \wedge \neg r

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