Exercício 03: Demonstre que os seguintes conjuntos de proposições são inconsistentes, deduzindo uma contradição para cada um deles.
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
Passo 1
O enunciado fornece quatro proposições (premissas) e pede para demonstrar que o conjunto é inconsistente, ou seja, deduzir uma contradição a partir delas. As premissas são:
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
Objetivo: a partir dessas quatro fórmulas, deduzir uma contradição (por exemplo
ou o símbolo de falso
).
Passo 2
Vou extrair informações diretas da premissa (4). Da conjunção
podemos obter cada uma das suas componentes separadamente:
e
.
Explicação da regra usada (eliminação da conjunção): se se tem
, então pode-se inferir
(e também, separadamente,
). Aplicando isso:
- A partir de (4) obtemos
. - A partir de (4) obtemos
.
(Isto é óbvio na prática: ter “t e r” significa ter “t” e também ter “r”.)
Passo 3
Agora uso a premissa (3) que é uma implicação
junto com o fato que obtivemos
no passo anterior, para deduzir
.
Explicação da regra usada (modus ponens / eliminação da implicação): se se tem
e também
, então se pode inferir
. Aqui:
- de (3)
e de (do passo 2) segue .
Exemplo curto para fixar: se sabemos “se chover então eu levo guarda-chuva” e sabemos “está chovendo”, então concluímos “levo guarda-chuva”. Mesma ideia lógica.
Passo 4
Com
em mãos, posso formar a disjunção
.
Explicação da regra usada (introdução da disjunção): a partir de
é sempre válida a inferência
(ou seja, se
é verdadeiro, então a disjunção
ou qualquer outra coisa também é verdadeira). Aplicando:
- de
segue .
Pequeno lembrete prático: introduzir uma disjunção é uma operação simples e muito usada para ativar implicações do tipo
.
Passo 5
Agora uso a premissa (1)
junto com
(do passo 4) para deduzir
.
Aplicação do modus ponens novamente: de
e de
segue
.
Passo 6
Com
obtido, uso a premissa (2)
para deduzir
.
Novamente modus ponens: de
e de
segue
.
Aqui
significa "não
".
Passo 7
Finalmente, compare os dois fatos que já tínhamos:
- do passo 2 temos
, - do passo 6 temos
.
Ter simultaneamente
e
é uma contradição lógica. Podemos escrevê-la como
ou simplesmente como o símbolo de falso
.
Explicação conceitual: uma teoria (conjunto de premissas) que permite deduzir uma proposição e simultaneamente sua negação é inconsistente; na prática, deduzimos uma contradição, o que conclui a demonstração de inconsistencia.
Passo 8
Resumo do encadeamento (para você poder reproduzir na prova, passo a passo):
- de (4)
obtém-se e (eliminação da conjunção); - de (3)
e obtém-se (modus ponens); - de
obtém-se (introdução da disjunção); - de (1)
e obtém-se (modus ponens); - de (2)
e obtém-se (modus ponens); - daí
e (contradição), logo o conjunto é inconsistente.
Você chegou ao objetivo: demonstrar a inconsistência. Boa! Na prova faça esses passos claros e indique a regra usada em cada passo — isso ganha ponto e mostra domínio.