Exercício 10 Um vendedor de jornais compra jornais por 5 reais e os vende por 7 reais. No entanto, ele não tem permissão para devolver os jornais não vendidos. Se a sua demanda diária é uma variável aleatória binomial com
, aproximadamente quantos jornais ele deve comprar de modo a maximizar seu lucro esperado?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado me dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- Preço de compra por jornal:
reais. - Preço de venda por jornal:
reais. - Não é possível devolver jornais não vendidos (salvamento
). - A demanda diária
é uma variável aleatória binomial com e .
- Preço de compra por jornal:
- O que o enunciado pede:
- Determinar aproximadamente quantos jornais comprar (quantidade inteira) para maximizar o lucro esperado.
Passo 2
Explicação do modelo (modelo do newsvendor) e da estratégia de otimização — teoria passo a passo e por que funciona.
-
Ideia intuitiva: cada unidade a mais que eu comprar pode ser
- vendida (se houver demanda) e então gera lucro unitário igual a preço de venda menos custo de compra;
- ou ficar sobrando (se a demanda for menor) e então gera prejuízo igual ao custo de compra, pois não há devolução nem valor de salvamento.
-
Definir custos unitários:
- Custo de falta (underage),
: lucro perdido por não ter uma unidade quando havia demanda. Aqui Explicação: se não se tem um jornal que poderia ter sido vendido, perde-se o lucro de reais daquela unidade. - Custo de sobra (overage),
: custo de ter uma unidade a mais que não foi vendida. Como não há salvamento, Explicação: uma unidade sobrando custa reais inteiros porque não se recupera nada.
- Custo de falta (underage),
-
Fracional crítico (regra do newsvendor): para maximizar o lucro esperado, calcula-se o quantilInterpretação:
é a probabilidade acumulada alvo da demanda; escolhe-se a menor quantidade inteira tal que a probabilidade acumulada seja pelo menos . -
Aplicando aos nossos números:Regra no caso discreto (binomial): procurar o menor
tal que
Passo 3
Escrever a fórmula da distribuição da demanda e calcular as probabilidades necessárias passo a passo.
-
A massa de probabilidade da binomial: para
, Explicação curta:conta as maneiras de escolher quais dias (ou unidades) ocorrem, é a probabilidade de ocorrer demanda em dos 10 ensaios e a probabilidade complementar. -
Calcular
: -
Calcular
: -
Calcular
:
Observação sobre os cálculos: as frações exatas foram reescritas com denominador comum
para facilitar a soma exata quando necessário; as aproximações decimais foram dadas com 5 dígitos significativos para clareza.
Passo 4
Calcular as probabilidades acumuladas e comparar com
.
-
Probabilidade acumulada até
: que é menor que. -
Probabilidade acumulada até
: que ainda é menor que. -
Probabilidade acumulada até
: Aquié a primeira (menor) acumulada que excede . -
Conclusão técnica: pelo critério do newsvendor no caso discreto, a quantidade ótima é o menor
com . Portanto .
Passo 5
Interpretação intuitiva do resultado (como usar isso na prova ou na prática).
- Mesmo que a demanda média seja
jornais, a regra recomenda comprar menos que a média porque o custo de sobra ( reais por jornal não vendido) é bem maior que o custo de falta ( reais por jornal não vendido de venda). Então é preferível correr o risco de faltar jornais em alguns dias do que lucrar pouco e acumular sobras caras. - Resultado prático: comprar
jornais maximiza o lucro esperado segundo o modelo apresentado.