Exercício 10 Um vendedor de jornais compra jornais por 5 reais e os vende por 7 reais. No entanto, ele não tem permissão para devolver os jornais não vendidos. Se a sua demanda diária é uma variável aleatória binomial com n=10, p=\frac{1}{3}, aproximadamente quantos jornais ele deve comprar de modo a maximizar seu lucro esperado?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado me dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Preço de compra por jornal: \,5 reais.
    • Preço de venda por jornal: \,7 reais.
    • Não é possível devolver jornais não vendidos (salvamento \,=0).
    • A demanda diária D é uma variável aleatória binomial com n=10 e p=\tfrac{1}{3}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar aproximadamente quantos jornais comprar (quantidade inteira) para maximizar o lucro esperado.

Passo 2

Explicação do modelo (modelo do newsvendor) e da estratégia de otimização — teoria passo a passo e por que funciona.
  • Ideia intuitiva: cada unidade a mais que eu comprar pode ser
    • vendida (se houver demanda) e então gera lucro unitário igual a preço de venda menos custo de compra;
    • ou ficar sobrando (se a demanda for menor) e então gera prejuízo igual ao custo de compra, pois não há devolução nem valor de salvamento.
  • Definir custos unitários:
    • Custo de falta (underage), C_u: lucro perdido por não ter uma unidade quando havia demanda. Aqui C_u = \text{preço de venda} - \text{preço de compra} = 7 - 5 = 2.ççExplicação: se não se tem um jornal que poderia ter sido vendido, perde-se o lucro de 2 reais daquela unidade.
    • Custo de sobra (overage), C_o: custo de ter uma unidade a mais que não foi vendida. Como não há salvamento, C_o = \text{preço de compra} - \text{salvamento} = 5 - 0 = 5.çExplicação: uma unidade sobrando custa 5 reais inteiros porque não se recupera nada.
  • Fracional crítico (regra do newsvendor): para maximizar o lucro esperado, calcula-se o quantil
    \alpha = \frac{C_u}{C_u + C_o}.
    Interpretação: \alpha é a probabilidade acumulada alvo da demanda; escolhe-se a menor quantidade inteira q tal que a probabilidade acumulada P(D \le q) seja pelo menos \alpha.
  • Aplicando aos nossos números:
    \alpha = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7} \approx 0,2857.
    Regra no caso discreto (binomial): procurar o menor q\in\{0,1,\dots,10\} tal que
    P(D \le q) \ge \frac{2}{7}.

Passo 3

Escrever a fórmula da distribuição da demanda e calcular as probabilidades necessárias passo a passo.
  • A massa de probabilidade da binomial: para k=0,1,\dots,10,
    P(D=k)=\binom{10}{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{10-k}.
    Explicação curta: \binom{10}{k} conta as maneiras de escolher quais k dias (ou unidades) ocorrem, (1/3)^k é a probabilidade de ocorrer demanda em k dos 10 ensaios e (2/3)^{10-k} a probabilidade complementar.
  • Calcular P(D=0):
    P(D=0)=\binom{10}{0}\left(\frac{1}{3}\right)^0\left(\frac{2}{3}\right)^{10}=\left(\frac{2}{3}\right)^{10}=\frac{1024}{59049}\approx 0,01734.
  • Calcular P(D=1):
    P(D=1)=\binom{10}{1}\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^{9} =10\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{9} =\frac{5120}{59049}\approx 0,08671.
  • Calcular P(D=2):
    P(D=2)=\binom{10}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^{8} =45\cdot\frac{1}{9}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{8} =\frac{11520}{59049}\approx 0,19507.
Observação sobre os cálculos: as frações exatas foram reescritas com denominador comum 3^{10}=59049 para facilitar a soma exata quando necessário; as aproximações decimais foram dadas com 5 dígitos significativos para clareza.

Passo 4

Calcular as probabilidades acumuladas e comparar com \alpha.
  • Probabilidade acumulada até q=0:
    P(D\le 0)=P(D=0)\approx 0,01734,
    que é menor que \alpha\approx 0,2857.
  • Probabilidade acumulada até q=1:
    P(D\le 1)=P(D=0)+P(D=1)\approx 0,01734+0,08671=0,10405,
    que ainda é menor que \alpha.
  • Probabilidade acumulada até q=2:
    P(D\le 2)=P(D=0)+P(D=1)+P(D=2)\approx 0,01734+0,08671+0,19507=0,29912.
    Aqui P(D\le 2)\approx 0,29912 é a primeira (menor) acumulada que excede \alpha\approx 0,2857.
  • Conclusão técnica: pelo critério do newsvendor no caso discreto, a quantidade ótima é o menor q com P(D\le q)\ge\alpha. Portanto q^\ast=2.

Passo 5

Interpretação intuitiva do resultado (como usar isso na prova ou na prática).
  • Mesmo que a demanda média seja \mathbb{E}[D]=np=10\cdot\tfrac{1}{3}\approx 3,33 jornais, a regra recomenda comprar menos que a média porque o custo de sobra ( 5 reais por jornal não vendido) é bem maior que o custo de falta ( 2 reais por jornal não vendido de venda). Então é preferível correr o risco de faltar jornais em alguns dias do que lucrar pouco e acumular sobras caras.
  • Resultado prático: comprar \,2 jornais maximiza o lucro esperado segundo o modelo apresentado.

Resposta

\,2 jornais