Exercício 12 Suponha que uma partícula seja lançada da origem do plano xy e se mova para o semiplano em que x>0. Suponha que a partícula se mova em linha reta e que o ângulo entre a parte positiva do eixo x e essa reta seja \alpha, que pode ser positivo ou negativo. Suponha, finalmente, que o ângulo \alpha tenha distribuição uniforme no intervalo [-\pi / 2, \pi / 2]. Seja Y a ordenada do ponto em que a partícula atinge a reta vertical x=1. Encontre a distriuição de Y.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a partícula parte da origem e segue uma reta que forma com o eixo positivo x um ângulo \alpha, onde \alpha pode ser positivo ou negativo.
  • Dado: \alpha tem distribuição uniforme no intervalo \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]. Ou seja, a variável aleatória \alpha tem densidade
f_{\Alpha}(\theta)=\frac{1}{\pi}\quad\text{para }\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],
e f_{\Alpha}(\theta)=0 fora desse intervalo.
  • Definição: Y é a ordenada (valor de y) do ponto onde a reta atinge a vertical x=1.
  • Pergunta: encontrar a distribuição de Y (ou seja, a função de distribuição acumulada F_Y e/ou a densidade f_Y).

Passo 2

Relacionar geometricamente Y com \alpha.
  • A reta parte da origem, tem inclinação dada pelo ângulo \alpha. A equação da reta, em termos de \alpha, é y=x\tan\alpha (porque a tangente é a razão entre a ordenada e a abscissa para uma reta passando pela origem).
  • No ponto onde x=1 temos
Y = 1\cdot \tan\alpha = \tan\alpha.
  • Portanto Y é a transformação da variável aleatória \alpha via a função g(\theta)=\tan\theta. Observação importante: a função \tan\theta é estritamente crescente e contínua no intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right), e sua imagem é todo \mathbb{R}. Assim a transformação é bem comportada e tem inversa \theta=\arctan y.

Passo 3

Abordagem via função de distribuição acumulada (CDF). Vou explicar a ideia antes de aplicar: se Y=g(\Alpha) com g crescente, então para qualquer y
F_{Y}(y)=P(Y\le y)=P(g(\Alpha)\le y)=P(\Alpha\le g^{-1}(y)).
Aqui g^{-1} é a função inversa de g.
Aplicando ao nosso caso: g(\theta)=\tan\theta é crescente em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) e g^{-1}(y)=\arctan y. Portanto, para todo y\in\mathbb{R},
F_{Y}(y)=P(Y\le y)=P(\tan\Alpha\le y)=P(\Alpha\le \arctan y).

Passo 4

Calcular explicitamente F_Y(y) usando a distribuição uniforme de \Alpha.
  • A variável \Alpha é uniforme em \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]. Assim para \theta dentro desse intervalo,
P(\Alpha\le\theta)=\frac{\theta-(-\tfrac{\pi}{2})}{\pi}=\frac{\theta+\tfrac{\pi}{2}}{\pi}.
  • Substituindo \theta=\arctan y obtemos, para todo y\in\mathbb{R},
F_{Y}(y)=\frac{\arctan y+\tfrac{\pi}{2}}{\pi}.
  • Podemos reescrever de forma mais comum:
F_{Y}(y)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{\pi}\arctan y.
  • Verificação rápida dos limites: quando y\to -\infty, \arctan y\to -\tfrac{\pi}{2} logo F_Y(y)\to0; quando y\to+\infty, \arctan y\to \tfrac{\pi}{2} logo F_Y(y)\to1. Tudo coerente.

Passo 5

Obter a densidade f_Y(y) diferenciando F_Y(y). Explico a regra usada: se F_Y é diferenciável, então f_Y(y)=F_Y'(y). Também podemos usar a fórmula geral de mudança de variável para densidades: se Y=g(\Alpha) com g estritamente monotônica e diferenciável, então
f_Y(y)=f_{\Alpha}(g^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|.
Aqui g^{-1}(y)=\arctan y e \tfrac{d}{dy}\arctan y=\dfrac{1}{1+y^{2}}.
  • Diferenciando a expressão de F_Y(y):
f_{Y}(y)=\frac{d}{dy}\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{\pi}\arctan y\right)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{1+y^{2}}.
  • Portanto, para todo y\in\mathbb{R},
f_{Y}(y)=\frac{1}{\pi(1+y^{2})}.

Passo 6

Interpretação final e comentários didáticos.
  • A densidade encontrada \displaystyle f_{Y}(y)=\frac{1}{\pi(1+y^{2})} é a densidade da chamada distribuição Cauchy padrão (ou distribuição de Cauchy com localização 0 e escala 1). Em notação: Y\sim\text{Cauchy}(0,1).
  • Características importantes (para lembrar na prova): a Cauchy tem caudas pesadas e, embora tenha densidade bem definida, não tem esperança (média) nem variância finitas. Mas para esta questão basta reconhecer e apresentar a CDF e a densidade.

Resposta

F_{Y}(y)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{\pi}\arctan y,\qquad y\in\mathbb{R}
f_{Y}(y)=\frac{1}{\pi(1+y^{2})},\qquad y\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados