Exercício 12 Suponha que uma partícula seja lançada da origem do plano xy e se mova para o semiplano em que
. Suponha que a partícula se mova em linha reta e que o ângulo entre a parte positiva do eixo
e essa reta seja
, que pode ser positivo ou negativo. Suponha, finalmente, que o ângulo
tenha distribuição uniforme no intervalo
. Seja
a ordenada do ponto em que a partícula atinge a reta vertical
. Encontre a distriuição de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a partícula parte da origem e segue uma reta que forma com o eixo positivo
um ângulo , onde pode ser positivo ou negativo. - Dado:
tem distribuição uniforme no intervalo . Ou seja, a variável aleatória tem densidade
e
fora desse intervalo.
- Definição:
é a ordenada (valor de ) do ponto onde a reta atinge a vertical . - Pergunta: encontrar a distribuição de
(ou seja, a função de distribuição acumulada e/ou a densidade ).
Passo 2
Relacionar geometricamente
com
.
- A reta parte da origem, tem inclinação dada pelo ângulo
. A equação da reta, em termos de , é (porque a tangente é a razão entre a ordenada e a abscissa para uma reta passando pela origem). - No ponto onde
temos
- Portanto
é a transformação da variável aleatória via a função . Observação importante: a função é estritamente crescente e contínua no intervalo , e sua imagem é todo . Assim a transformação é bem comportada e tem inversa .
Passo 3
Abordagem via função de distribuição acumulada (CDF). Vou explicar a ideia antes de aplicar: se
com
crescente, então para qualquer
Aqui
é a função inversa de
.
Aplicando ao nosso caso:
é crescente em
e
. Portanto, para todo
,
Passo 4
Calcular explicitamente
usando a distribuição uniforme de
.
- A variável
é uniforme em
. Assim para dentro desse intervalo,
- Substituindo
obtemos, para todo ,
- Podemos reescrever de forma mais comum:
- Verificação rápida dos limites: quando
, logo ; quando , logo . Tudo coerente.
Passo 5
Obter a densidade
diferenciando
. Explico a regra usada: se
é diferenciável, então
. Também podemos usar a fórmula geral de mudança de variável para densidades: se
com
estritamente monotônica e diferenciável, então
Aqui
e
.
- Diferenciando a expressão de
:
- Portanto, para todo
,
Passo 6
Interpretação final e comentários didáticos.
- A densidade encontrada
é a densidade da chamada distribuição Cauchy padrão (ou distribuição de Cauchy com localização e escala ). Em notação: . - Características importantes (para lembrar na prova): a Cauchy tem caudas pesadas e, embora tenha densidade bem definida, não tem esperança (média) nem variância finitas. Mas para esta questão basta reconhecer e apresentar a CDF e a densidade.