Exercício 14 Suponha que as variáveis aleatórias
formem uma amostra aleatória de tamanho
de uma distribuição contínua com f.d.a.
. Sejam as variáveis aleatórias
e
definidas como no Exercício 13. Determine
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
-
é uma amostra aleatória de tamanho de uma distribuição contínua com função de distribuição acumulada (f.d.a.) . - As variáveis aleatórias
e são definidas como no Exercício 13. (Isto é: e .)
O que se pede: - Determinar
. - Determinar
.
Passo 2
Idea-chave (ferramenta que vamos usar): para uma variável contínua
com f.d.a.
, a variável
tem distribuição uniforme no intervalo
. Isso chama-se transformação integral de probabilidade. Em palavras: para
,
onde se usa que
é contínua (portanto não cria saltos). Logo
.
Aplicação ao problema: defina
para cada
. Então os
são iid
. Assim
isto é,
e
são, respectivamente, a primeira e a última estatística de ordem das
.
Passo 3
Uma via direta (usando as densidades dos extremos em termos de
e
, onde
é a densidade de
) é obter os pdfs de
e
. Para
qualquer,
Derivando em
(usando
) obtemos os pdfs
Passo 4
Calcule
usando o pdf de
. Escrevendo a esperança como integral em
:
Faça a mudança de variável
. Então
e quando
percorre todo o suporte,
vai de
a
. A integral fica
Essa integral é simples:
Passo 5
Calcule
usando o pdf de
. Começando:
De novo use
,
, obtendo
Calcule a integral usando a identidade
mas há um jeito mais direto: escrever
no integrando ou notar que
Multiplicando por
dá
Passo 6
Verificação alternativa (intuição rápida): como
são iid
, é conhecido que a esperança do
-ésimo estatístico de ordem
é
. Aqui
e
, dando
e
, concordando com os cálculos acima.