Exercício 14 Suponha que as variáveis aleatórias X_{1}, \ldots, X_{n} formem uma amostra aleatória de tamanho n de uma distribuição contínua com f.d.a. F. Sejam as variáveis aleatórias Y_{1} e Y_{n} definidas como no Exercício 13. Determine E\left[F\left(Y_{1}\right)\right] e E\left[F\left(Y_{n}\right)\right].

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • X_{1},\ldots,X_{n} é uma amostra aleatória de tamanho n de uma distribuição contínua com função de distribuição acumulada (f.d.a.) F.
  • As variáveis aleatórias Y_{1} e Y_{n} são definidas como no Exercício 13. (Isto é: Y_{1}=\min\{X_{1},\dots,X_{n}\} e Y_{n}=\max\{X_{1},\dots,X_{n}\}.)
    O que se pede:
  • Determinar E\!\left[F\!\left(Y_{1}\right)\right].
  • Determinar E\!\left[F\!\left(Y_{n}\right)\right].

Passo 2

Idea-chave (ferramenta que vamos usar): para uma variável contínua X com f.d.a. F, a variável U=F(X) tem distribuição uniforme no intervalo [0,1]. Isso chama-se transformação integral de probabilidade. Em palavras: para 0\le u\le1,
P(U\le u)=P(F(X)\le u)=P\big(X\le F^{-1}(u)\big)=u,
onde se usa que F é contínua (portanto não cria saltos). Logo U\sim \mathrm{Uniform}(0,1).
Aplicação ao problema: defina U_i=F(X_i) para cada i. Então os U_i são iid \mathrm{Uniform}(0,1). Assim
F(Y_{1})=\min_i U_i\quad\text{e}\quad F(Y_{n})=\max_i U_i,
isto é, F(Y_{1}) e F(Y_{n}) são, respectivamente, a primeira e a última estatística de ordem das U_i.

Passo 3

Uma via direta (usando as densidades dos extremos em termos de F e f, onde f=F' é a densidade de X) é obter os pdfs de Y_1 e Y_n. Para y qualquer,
F_{Y_1}(y)=1-\big(1-F(y)\big)^{n},\qquad F_{Y_n}(y)=F(y)^{n}.
Derivando em y (usando f(y)=F'(y)) obtemos os pdfs
f_{Y_1}(y)=n\big(1-F(y)\big)^{\,n-1}f(y), \qquad f_{Y_n}(y)=nF(y)^{\,n-1}f(y).

Passo 4

Calcule E\!\left[F(Y_{n})\right] usando o pdf de Y_n. Escrevendo a esperança como integral em y:
E\!\left[F(Y_{n})\right]=\int_{-\infty}^{\infty} F(y)\,f_{Y_n}(y)\,dy = \int_{-\infty}^{\infty} F(y)\,nF(y)^{\,n-1}f(y)\,dy.
Faça a mudança de variável u=F(y). Então du=f(y)\,dy e quando y percorre todo o suporte, u vai de 0 a 1. A integral fica
E\!\left[F(Y_{n})\right]=n\int_{0}^{1} u\cdot u^{\,n-1}\,du = n\int_{0}^{1} u^{\,n}\,du.
Essa integral é simples:
n\int_{0}^{1} u^{\,n}\,du = n\cdot\frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}.

Passo 5

Calcule E\!\left[F(Y_{1})\right] usando o pdf de Y_1. Começando:
E\!\left[F(Y_{1})\right]=\int_{-\infty}^{\infty} F(y)\,f_{Y_1}(y)\,dy = \int_{-\infty}^{\infty} F(y)\,n\big(1-F(y)\big)^{\,n-1}f(y)\,dy.
De novo use u=F(y), du=f(y)\,dy, obtendo
E\!\left[F(Y_{1})\right]=n\int_{0}^{1} u\big(1-u\big)^{\,n-1}\,du.
Calcule a integral usando a identidade
\int_{0}^{1} u\big(1-u\big)^{\,n-1}\,du = \int_{0}^{1} \big(1-u\big)^{\,n-1}\,du - \int_{0}^{1} u^{\,\\ } \big(1-u\big)^{\,n-1}\,du,
mas há um jeito mais direto: escrever u=1-v no integrando ou notar que
\int_{0}^{1} u\big(1-u\big)^{\,n-1}\,du = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}.
Multiplicando por n
E\!\left[F(Y_{1})\right]=n\cdot\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n+1}.

Passo 6

Verificação alternativa (intuição rápida): como U_i=F(X_i) são iid \mathrm{Uniform}(0,1), é conhecido que a esperança do k-ésimo estatístico de ordem U_{(k)} é \dfrac{k}{n+1}. Aqui F(Y_{1})=U_{(1)} e F(Y_{n})=U_{(n)}, dando E[U_{(1)}]=\dfrac{1}{n+1} e E[U_{(n)}]=\dfrac{n}{n+1}, concordando com os cálculos acima.

Resposta

\displaystyle E\!\left[F(Y_{1})\right]=\frac{1}{n+1}
\displaystyle E\!\left[F(Y_{n})\right]=\frac{n}{n+1}

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