Exercício 15 Calcule E[X] se X tem função densidade dada por
(c)
\nf(x)= \begin{cases}x+1 & \text { se }-1<x<0 \\ -x+1 & \text { se } 0 \leq x<1 \\ 0 & \text { caso contrário }\end{cases}á

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada a função densidade f\) de uma variável aleatória contínua \(X\), definida por partes: \[f(x)= \begin{cases} x+1 & \text{se } -1<x<0,\\[4pt] -x+1 & \text{se } 0\le x<1,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário.} \end{cases}
  • A pergunta do enunciado é: calcular E[X]\], a esperança (valor esperado) de \(X.]

Passo 2

Primeira verificação útil: confirmar que f é, de fato, uma densidade (integra 1). Isso também ajuda a entender a forma da função.
Calcular a integral total da densidade na sua suporte [-1,1]:
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \int_{-1}^{0} (x+1)\,dx + \int_{0}^{1} (-x+1)\,dx.
Calcule cada integral:
\int_{-1}^{0} (x+1)\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2}+x\right]_{-1}^{0} = \bigl(0+0\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{2}-1\bigr) = \tfrac{1}{2}.
\int_{0}^{1} (-x+1)\,dx = \left[-\tfrac{x^{2}}{2}+x\right]_{0}^{1} = \bigl(-\tfrac{1}{2}+1\bigr)-0 = \tfrac{1}{2}.
Somando,
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
Portanto f está normalizada corretamente — é uma densidade válida.

Passo 3

Relembrando a definição e a ideia intuitiva de esperança para variável contínua.
  • Definição: para uma variável contínua X com densidade f, a esperança é
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
  • Intuição: E[X] é uma média ponderada dos valores x, onde o peso é f(x). Como a densidade aqui tem suporte em [-1,1], a integral pode ser reduzida a esse intervalo:
E[X]=\int_{-1}^{1} x\,f(x)\,dx.
  • Como f é dada por partes, vamos dividir a integral em duas partes correspondentes aos ramos:
E[X]=\int_{-1}^{0} x(x+1)\,dx + \int_{0}^{1} x(-x+1)\,dx.

Passo 4

Observação elegante e que simplifica muito o cálculo (método preferível na prova, quando perceber):
  • Notar que, para x\in(0,1),
f(-x)=(-x)+1=1-x,
e também
f(x)=-x+1=1-x,
então f(-x)=f(x) para todo x\in(0,1). Assim f é uma função par (ou “simétrica em relação à origem”) no intervalo [-1,1].
  • Quando a densidade é par, o integrando x\,f(x) é uma função ímpar, porque
(xf(x))(-x)=(-x)f(-x)=-x f(x)= - (x f(x)).
  • É uma propriedade padrão de integrais: a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero. Logo, sem cálculos longos, podemos concluir que a integral de x f(x) em [-1,1] é zero, ou seja, a esperança é zero. (Esse é o atalho que sempre vale a pena tentar na prova: procurar simetrias!)

Passo 5

Cálculo explícito das duas integrais (passo a passo) para ver concretamente como os termos se cancelam — bom para treinar antiderivadas.
Primeira integral:
\int_{-1}^{0} x(x+1)\,dx = \int_{-1}^{0} (x^{2}+x)\,dx = \left[\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0}.
Avalia:
\left(\tfrac{0^{3}}{3}+\tfrac{0^{2}}{2}\right) - \left(\tfrac{(-1)^{3}}{3}+\tfrac{(-1)^{2}}{2}\right) = 0-\left(-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}\right) = -\left(-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{6}.
Segunda integral:
\int_{0}^{1} x(-x+1)\,dx = \int_{0}^{1} (-x^{2}+x)\,dx = \left[-\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}.
Avalia:
\left(-\tfrac{1^{3}}{3}+\tfrac{1^{2}}{2}\right)-0 = -\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{6}.
Observação: as duas integrais deram -\tfrac{1}{6} e \tfrac{1}{6}, valores iguais em módulo e opostos em sinal — isto é a verificação numérica da simetria mencionada no passo anterior.

Resposta

0

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