Portanto f está normalizada corretamente — é uma densidade válida.
Passo 3
Relembrando a definição e a ideia intuitiva de esperança para variável contínua.
Definição: para uma variável contínua X com densidade f, a esperança é
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Intuição: E[X] é uma média ponderada dos valores x, onde o peso é f(x). Como a densidade aqui tem suporte em [-1,1], a integral pode ser reduzida a esse intervalo:
E[X]=\int_{-1}^{1} x\,f(x)\,dx.
Como f é dada por partes, vamos dividir a integral em duas partes correspondentes aos ramos:
Observação elegante e que simplifica muito o cálculo (método preferível na prova, quando perceber):
Notar que, para x\in(0,1),
f(-x)=(-x)+1=1-x,
e também
f(x)=-x+1=1-x,
então f(-x)=f(x) para todo x\in(0,1). Assim f é uma função par (ou “simétrica em relação à origem”) no intervalo [-1,1].
Quando a densidade é par, o integrando x\,f(x) é uma função ímpar, porque
(xf(x))(-x)=(-x)f(-x)=-x f(x)= - (x f(x)).
É uma propriedade padrão de integrais: a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero. Logo, sem cálculos longos, podemos concluir que a integral de x f(x) em [-1,1] é zero, ou seja, a esperança é zero. (Esse é o atalho que sempre vale a pena tentar na prova: procurar simetrias!)
Passo 5
Cálculo explícito das duas integrais (passo a passo) para ver concretamente como os termos se cancelam — bom para treinar antiderivadas.
Observação: as duas integrais deram -\tfrac{1}{6} e \tfrac{1}{6}, valores iguais em módulo e opostos em sinal — isto é a verificação numérica da simetria mencionada no passo anterior.