Exercício 16 A função densidade de X\) é dada por \[f(x)= \begin{cases}a+b x^{2}, & 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
Se E[X]=\frac{3}{5}\], determine a e \(b.

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de probabilidade f\) da variável aleatória \(X\): \[f(x)= \begin{cases}a+b x^{2}, & 0 \leq x \leq 1 \\[4pt] 0, & \text{caso contrário}\end{cases}
e informa que E[X]=\dfrac{3}{5}\]. O que é pedido: determinar os números \(a e b.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função f é uma densidade sobre [0,1], logo deve satisfazer a condição de normalização \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.
  • A esperança é dada por \displaystyle E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx, e vale \dfrac{3}{5} segundo o enunciado.
  • Como f(x)=0 fora de [0,1], os integrandos efetivos serão sobre o intervalo [0,1].]

Passo 2

Aplicar a condição de normalização da densidade: \displaystyle\int_{0}^{1} (a+b x^{2})\,dx = 1.
Vamos calcular essa integral passo a passo. A integral de uma soma é a soma das integrais, e as primitivas são:
\int a\,dx = a x,\qquad \int b x^{2}\,dx = b\frac{x^{3}}{3}.
Avaliaremos de 0 a 1:
\int_{0}^{1} (a+b x^{2})\,dx = \left[a x + b\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = a\cdot 1 + b\frac{1^{3}}{3} - (a\cdot 0 + b\frac{0^{3}}{3}).
Portanto obtemos a equação
a + \frac{b}{3} = 1.

Passo 3

Usar a expressão para a esperança: \displaystyle E[X]=\int_{0}^{1} x\,(a+b x^{2})\,dx = \frac{3}{5}.
Novamente, distribui-se o integrando e calcula-se cada integral:
\int_{0}^{1} x(a+b x^{2})\,dx = a\int_{0}^{1} x\,dx + b\int_{0}^{1} x^{3}\,dx.
As primitivas são \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2} e \int x^{3}\,dx = \dfrac{x^{4}}{4}. Avaliando de 0 a 1 resulta:
a\cdot\frac{1}{2} + b\cdot\frac{1}{4} = \frac{3}{5}.
Assim obtemos a segunda equação
\frac{a}{2} + \frac{b}{4} = \frac{3}{5}.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema linear formado pelas duas equações:
\begin{cases} a + \dfrac{b}{3} = 1,\\[6pt] \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{4} = \dfrac{3}{5}. \end{cases}
Para facilitar, vamos eliminar os denominadores. Multiplicando a primeira equação por 3:
3a + b = 3.
Multiplicando a segunda equação por 4:
2a + b = \frac{12}{5}.
Subtraindo a segunda da primeira para eliminar b:
(3a + b) - (2a + b) = 3 - \frac{12}{5}.
Isso dá
a = 3 - \frac{12}{5} = \frac{15}{5} - \frac{12}{5} = \frac{3}{5}.]

Passo 5

Com a=\dfrac{3}{5} encontramos b substituindo em uma das equações (uso a mais simples a + \dfrac{b}{3}=1):
\frac{3}{5} + \frac{b}{3} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{b}{3} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}.
Multiplicando por 3:
b = 3\cdot\frac{2}{5} = \frac{6}{5}.
Vamos checar rapidamente a consistência:
  • Normalização: a + b/3 = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{6}{5} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5} = 1.
  • Esperança: a/2 + b/4 = \dfrac{3}{10} + \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}.
Também é bom verificar que f(x)\ge 0 em [0,1] com esses valores:
f(x)=\frac{3}{5}+\frac{6}{5}x^{2}=\frac{3+6x^{2}}{5}\ge \frac{3}{5}>0,
portanto é uma densidade válida.

Passo 6

Resumo final: os valores encontrados são a=\dfrac{3}{5} e b=\dfrac{6}{5}. Parabéns — foi só montar as duas equações (normalização e esperança) e resolver o sistema linear. Você já consegue fazer isso na prova: escreva sempre as duas condições fundamentais para uma densidade e integre com calma.

Resposta

a=\dfrac{3}{5}
b=\dfrac{6}{5}

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