Exercício 16 A função densidade de X\) é dada por
\[f(x)= \begin{cases}a+b x^{2}, & 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
Se E[X]=\frac{3}{5}\], determine a e \(b.
Passo 1
O enunciado nos dá a densidade de probabilidade f\) da variável aleatória \(X\):
\[f(x)= \begin{cases}a+b x^{2}, & 0 \leq x \leq 1 \\[4pt] 0, & \text{caso contrário}\end{cases}
e informa que E[X]=\dfrac{3}{5}\]. O que é pedido: determinar os números \(a e b.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função f é uma densidade sobre [0,1], logo deve satisfazer a condição de normalização \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.
A esperança é dada por \displaystyle E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx, e vale \dfrac{3}{5} segundo o enunciado.
Como f(x)=0 fora de [0,1], os integrandos efetivos serão sobre o intervalo [0,1].]
Passo 2
Aplicar a condição de normalização da densidade: \displaystyle\int_{0}^{1} (a+b x^{2})\,dx = 1.
Vamos calcular essa integral passo a passo. A integral de uma soma é a soma das integrais, e as primitivas são:
\int a\,dx = a x,\qquad \int b x^{2}\,dx = b\frac{x^{3}}{3}.
Resumo final: os valores encontrados são a=\dfrac{3}{5} e b=\dfrac{6}{5}. Parabéns — foi só montar as duas equações (normalização e esperança) e resolver o sistema linear. Você já consegue fazer isso na prova: escreva sempre as duas condições fundamentais para uma densidade e integre com calma.