Exercício 19 Seja X uma variável aleatória uniforme em (-1,1). Determine E[|X|], E\left[X^{2}\right] e E\left[e^{X}\right].
Passo 1
O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (-1,1). As perguntas são:
Calcular E[|X|].
Calcular E\left[X^{2}\right].
Calcular E\left[e^{X}\right].
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O suporte de X é o intervalo (-1,1).
Para a distribuição uniforme contínua em (-1,1), a densidade de probabilidade é constante nesse intervalo (valor que vamos determinar no próximo passo).
Passo 2
Relembrando a definição que vamos usar (aqui explico cada símbolo): para uma variável contínua X com função densidade de probabilidade f(x) e para qualquer função mensurável g, a esperança (valor esperado) de g(X) é
E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,f(x)\,dx,
onde f(x) é a densidade (ou seja, f(x)\ge0 para todo x e \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1). No nosso caso, como X é uniforme em (-1,1), a densidade f é constante em (-1,1) e zero fora; para que a integral do pdf seja 1 devemos ter
Uma forma alternativa e compacta é reconhecer que \dfrac{e-e^{-1}}{2}=\operatorname{sinh}(1), onde \operatorname{sinh} é a função seno hiperbólico; portanto E\left[e^{X}\right]=\operatorname{sinh}(1). Ambas as expressões são equivalentes.