Exercício 19 Seja X uma variável aleatória uniforme em (-1,1). Determine E[|X|], E\left[X^{2}\right] e E\left[e^{X}\right].

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (-1,1). As perguntas são:
  • Calcular E[|X|].
  • Calcular E\left[X^{2}\right].
  • Calcular E\left[e^{X}\right].
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O suporte de X é o intervalo (-1,1).
  • Para a distribuição uniforme contínua em (-1,1), a densidade de probabilidade é constante nesse intervalo (valor que vamos determinar no próximo passo).

Passo 2

Relembrando a definição que vamos usar (aqui explico cada símbolo): para uma variável contínua X com função densidade de probabilidade f(x) e para qualquer função mensurável g, a esperança (valor esperado) de g(X) é
E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,f(x)\,dx,
onde f(x) é a densidade (ou seja, f(x)\ge0 para todo x e \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1). No nosso caso, como X é uniforme em (-1,1), a densidade f é constante em (-1,1) e zero fora; para que a integral do pdf seja 1 devemos ter
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 1 \quad\Rightarrow\quad f(x)\cdot (1-(-1)) = 1 \quad\Rightarrow\quad f(x)=\frac{1}{2}\\ \text{para } x\in(-1,1).
Portanto, para qualquer g,
E[g(X)] = \int_{-1}^{1} g(x)\cdot\frac{1}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1} g(x)\,dx.
Vou aplicar essa fórmula para cada função pedida: g(x)=|x|, g(x)=x^{2} e g(x)=e^{x}.

Passo 3

Cálculo de E[|X|].
Montamos a integral usando a densidade:
E[|X|]=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} |x|\,dx.
Observação útil (simetria): a função |x| é par (ou seja, |-x|=|x|), portanto a integral sobre [-1,1] é duas vezes a integral sobre [0,1]:
\int_{-1}^{1} |x|\,dx = 2\int_{0}^{1} x\,dx.
Agora calcule a integral simples:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Então
\int_{-1}^{1} |x|\,dx = 2\cdot\frac{1}{2} = 1,
e finalmente
E[|X|]=\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}.

Passo 4

Cálculo de E\left[X^{2}\right].
Usamos a definição:
E\left[X^{2}\right]=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx.
A função x^{2} também é par, então
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Calcule a integral:
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Portanto
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3},
e
E\left[X^{2}\right]=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{3}.

Passo 5

Cálculo de E\left[e^{X}\right].
Usamos a fórmula geral:
E\left[e^{X}\right]=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} e^{x}\,dx.
A integral de e^{x} é direta:
\int_{-1}^{1} e^{x}\,dx = \left.e^{x}\right|_{-1}^{1} = e^{1}-e^{-1} = e - e^{-1}.
Então
E\left[e^{X}\right]=\frac{1}{2}\bigl(e - e^{-1}\bigr).
Uma forma alternativa e compacta é reconhecer que \dfrac{e-e^{-1}}{2}=\operatorname{sinh}(1), onde \operatorname{sinh} é a função seno hiperbólico; portanto E\left[e^{X}\right]=\operatorname{sinh}(1). Ambas as expressões são equivalentes.

Resposta

E[|X|]=\dfrac{1}{2}
E\left[X^{2}\right]=\dfrac{1}{3}
E\left[e^{X}\right]=\dfrac{e-e^{-1}}{2}=\operatorname{sinh}(1)

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