Exercício 20 O tempo, em horas, necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro \lambda=\frac{1}{2}. Determine
(a) a probabilidade de que o tempo de reparo exceda 2 horas;
(b) a probabilidade condicional de que um reparo leve mais do que 2+t horas sabendo que sua duração excede 2 horas;
(c) o tempo médio adicional do tempo de reparo sabendo que a duração excede 2 horas, isto é, E[(T-2) \mid T>2].

Passo 1

O enunciado fornece que o tempo de reparo T (em horas) tem distribuição exponencial com parâmetro \lambda=\dfrac{1}{2}. As perguntas são:
(a) calcular P(T>2) — a probabilidade de que o reparo exceda 2 horas;
(b) calcular P(T>2+t \mid T>2) — a probabilidade condicional de que o reparo dure mais que 2+t horas sabendo que já excedeu 2 horas (aqui t\ge 0);
(c) calcular E[(T-2)\mid T>2] — o tempo médio adicional (esperança do tempo restante) dado que T>2.
Informações relevantes dadas:
  • \lambda=\dfrac{1}{2}.
  • T é exponencial, então a densidade e a função de sobrevivência (complemento da CDF) serão usadas.

Passo 2

Relembrando a definição e fórmulas básicas da distribuição exponencial (passo-a-passo e intuitivo).
  • A densidade de probabilidade da exponencial com parâmetro \lambda>0 é
f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t},\quad t\ge 0.
Aqui, f_T(t) representa a “densidade” de probabilidade em torno de t.
  • A função de distribuição acumulada (CDF) é
F_T(t)=P(T\le t)=1-e^{-\lambda t},\quad t\ge 0.
  • A função de sobrevivência (probabilidade de exceder t) é o complemento:
P(T>t)=1-F_T(t)=e^{-\lambda t}.
  • A esperança (valor médio) da exponencial é
E[T]=\frac{1}{\lambda}.
Essas fórmulas são padrão e vem da integração da densidade exponencial. Vou usá-las direto nos próximos passos.

Passo 3

Resolver (a): calcular P(T>2).
Usando a função de sobrevivência da exponencial:
P(T>2)=e^{-\lambda\cdot 2}.
Substituindo \lambda=\dfrac{1}{2}:
P(T>2)=e^{-\tfrac{1}{2}\cdot 2}=e^{-1}.
Como aproximação numérica (se quiser comparar na prova):
e^{-1}\approx 0{,}3679.
Portanto a resposta exata é e^{-1} e a aproximada é 0{,}3679.

Passo 4

Resolver (b): achar P(T>2+t \mid T>2).
A definição de probabilidade condicional dá:
P(T>2+t\mid T>2)=\frac{P(T>2+t\\ \text{e}\\ T>2)}{P(T>2)}.
Como T>2+t implica T>2, a interseção é simplesmente T>2+t. Logo
P(T>2+t\mid T>2)=\frac{P(T>2+t)}{P(T>2)}.
Usando a função de sobrevivência:
P(T>2+t\mid T>2)=\frac{e^{-\lambda(2+t)}}{e^{-\lambda\cdot 2}}=e^{-\lambda t}.
Substituindo \lambda=\dfrac{1}{2} obtemos
P(T>2+t\mid T>2)=e^{-\tfrac{1}{2}t}.
Observação importante (intuitiva): essa propriedade mostra que a exponencial é “sem memória” — a probabilidade do tempo adicional não depende do quanto já passou ( 2 neste caso), depende só de t.

Passo 5

Explicação didática da propriedade “sem memória” (para você lembrar na prova).
  • A exponencial satisfaz P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t) para todo s,t\ge 0.
  • Em palavras: conhecido que a máquina já tomou s horas sem conserto, a distribuição do tempo adicional é igual à distribuição original de T. Isso facilita muito cálculos condicionais e o cálculo de esperanças condicionais, como veremos no próximo passo.

Passo 6

Resolver (c): calcular E[(T-2)\mid T>2].
Vou mostrar duas maneiras (a integral formal e a via propriedade sem memória). Primeiro a via formal, derivando a densidade condicional do tempo residual.
Defina a variável residual S=T-2 condicionada a T>2. Para s\ge 0, a densidade condicional de S é
f_{S\mid T>2}(s)=\frac{f_T(2+s)}{P(T>2)}.
Substituindo f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t} e P(T>2)=e^{-\lambda\cdot 2}:
f_{S\mid T>2}(s)=\frac{\lambda e^{-\lambda(2+s)}}{e^{-\lambda\cdot 2}}=\lambda e^{-\lambda s},\quad s\ge 0.
Repare que isso é exatamente a mesma densidade exponencial de parâmetro \lambda: o residual tem a mesma distribuição exponencial (isto é a “sem memória” em forma de densidade).
Agora calculo a esperança de S:
E[S]=\int_{0}^{\infty} s\,f_{S\mid T>2}(s)\,ds=\int_{0}^{\infty} s\lambda e^{-\lambda s}\,ds.
Calculo essa integral por partes. Seja em demonstração curta:
  • Tome u=s e dv=\lambda e^{-\lambda s}ds. Então du=ds e v=-e^{-\lambda s}.
  • Assim
\int_{0}^{\infty} s\lambda e^{-\lambda s}\,ds=\Big[-s e^{-\lambda s}\Big]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda s}\,ds.
O termo \lim_{s\to\infty} s e^{-\lambda s}=0 porque a exponencial decai mais rápido que a função linear cresce. No s=0 o termo é 0. Então resta
\int_{0}^{\infty} s\lambda e^{-\lambda s}\,ds=\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda s}\,ds=\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda s}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{\lambda}.
Portanto
E[(T-2)\mid T>2]=\frac{1}{\lambda}.

Passo 7

Aplicando ao caso \lambda=\dfrac{1}{2}:
  • \dfrac{1}{\lambda}=2. Ou seja, o tempo médio adicional dado que já passou 2 horas é 2 horas.
Comentário intuitivo final (motivacional): isso pode parecer estranho — mesmo depois de já ter esperado 2 horas, o tempo médio que ainda vai demorar continua sendo 2 horas — mas essa é exatamente a característica “sem memória” da exponencial. Não se preocupe se no começo isso parecer contraintuitivo; com exercícios fica natural.

Resposta

(a) P(T>2)=e^{-1}\approx 0{,}3679
(b) P(T>2+t\mid T>2)=e^{-\tfrac{1}{2}t}
(c) E[(T-2)\mid T>2]=2

Exercícios relacionados