Exercício 20 O tempo, em horas, necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro
. Determine
(a) a probabilidade de que o tempo de reparo exceda 2 horas;
(b) a probabilidade condicional de que um reparo leve mais do que
horas sabendo que sua duração excede 2 horas;
(c) o tempo médio adicional do tempo de reparo sabendo que a duração excede 2 horas, isto é,
.
(a) a probabilidade de que o tempo de reparo exceda 2 horas;
(b) a probabilidade condicional de que um reparo leve mais do que
(c) o tempo médio adicional do tempo de reparo sabendo que a duração excede 2 horas, isto é,
Passo 1
O enunciado fornece que o tempo de reparo
(em horas) tem distribuição exponencial com parâmetro
. As perguntas são:
(a) calcular — a probabilidade de que o reparo exceda
horas;
(b) calcular — a probabilidade condicional de que o reparo dure mais que
horas sabendo que já excedeu
horas (aqui
);
(c) calcular — o tempo médio adicional (esperança do tempo restante) dado que
.
(a) calcular
(b) calcular
(c) calcular
Informações relevantes dadas:
-
. -
é exponencial, então a densidade e a função de sobrevivência (complemento da CDF) serão usadas.
Passo 2
Relembrando a definição e fórmulas básicas da distribuição exponencial (passo-a-passo e intuitivo).
- A densidade de probabilidade da exponencial com parâmetro
é
Aqui,
representa a “densidade” de probabilidade em torno de
.
- A função de distribuição acumulada (CDF) é
- A função de sobrevivência (probabilidade de exceder
) é o complemento:
- A esperança (valor médio) da exponencial é
Essas fórmulas são padrão e vem da integração da densidade exponencial. Vou usá-las direto nos próximos passos.
Passo 3
Resolver (a): calcular
.
Usando a função de sobrevivência da exponencial:
Usando a função de sobrevivência da exponencial:
Substituindo
:
Como aproximação numérica (se quiser comparar na prova):
Portanto a resposta exata é
e a aproximada é
.
Passo 4
Resolver (b): achar
.
A definição de probabilidade condicional dá:
A definição de probabilidade condicional dá:
Como
implica
, a interseção é simplesmente
. Logo
Usando a função de sobrevivência:
Substituindo
obtemos
Observação importante (intuitiva): essa propriedade mostra que a exponencial é “sem memória” — a probabilidade do tempo adicional não depende do quanto já passou (
neste caso), depende só de
.
Passo 5
Explicação didática da propriedade “sem memória” (para você lembrar na prova).
- A exponencial satisfaz
para todo . - Em palavras: conhecido que a máquina já tomou
horas sem conserto, a distribuição do tempo adicional é igual à distribuição original de . Isso facilita muito cálculos condicionais e o cálculo de esperanças condicionais, como veremos no próximo passo.
Passo 6
Resolver (c): calcular
.
Vou mostrar duas maneiras (a integral formal e a via propriedade sem memória). Primeiro a via formal, derivando a densidade condicional do tempo residual.
Vou mostrar duas maneiras (a integral formal e a via propriedade sem memória). Primeiro a via formal, derivando a densidade condicional do tempo residual.
Defina a variável residual
condicionada a
. Para
, a densidade condicional de
é
Substituindo
e
:
Repare que isso é exatamente a mesma densidade exponencial de parâmetro
: o residual tem a mesma distribuição exponencial (isto é a “sem memória” em forma de densidade).
Agora calculo a esperança de
:
Calculo essa integral por partes. Seja em demonstração curta:
- Tome
e . Então e . - Assim
O termo
porque a exponencial decai mais rápido que a função linear cresce. No
o termo é
. Então resta
Portanto
Passo 7
Aplicando ao caso
:
-
. Ou seja, o tempo médio adicional dado que já passou 2 horas é horas.
Comentário intuitivo final (motivacional): isso pode parecer estranho — mesmo depois de já ter esperado
horas, o tempo médio que ainda vai demorar continua sendo
horas — mas essa é exatamente a característica “sem memória” da exponencial. Não se preocupe se no começo isso parecer contraintuitivo; com exercícios fica natural.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)