EXERCÍCIO 1.25 Em certa região do espaço, existe um potencial dado por
, onde
e
são constantes. Qual é o vetor campo elétrico num ponto
dessa região?
Passo 1
O enunciado dá o potencial escalar elétrico na região como
, onde
,
e
são constantes. O que se pede é: encontrar o vetor campo elétrico no ponto
dessa região.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão do potencial é
. -
, e são constantes (podem ser positivas ou negativas; não foram especificadas). - Domínio implícito: a função
exige que . Além disso exige . Essas condições são necessárias para o potencial estar bem definido no ponto .
Passo 2
A relação fundamental entre potencial e campo elétrico que vamos usar é
Explicando isso:
é o vetor campo elétrico, e
(lê-se "gradiente de
") é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Em coordenadas cartesianas:
Então, para achar
basta calcular as três derivadas parciais de
e colocar um sinal negativo em cada componente. Vou calcular cada derivada passo a passo.
Passo 3
Derivada parcial em relação a
.
A parte de
que depende de
é
. Lembrando que a derivada de
é
, temos
A outra parcela
não depende de
, logo sua derivada parcial em
é zero. Portanto
Passo 4
Derivada parcial em relação a
.
A parte relevante agora é
. Vamos usar a regra da cadeia: se
então
, e aqui
. Aplicando
:
Como
(tratando
e
como constantes ao derivar em relação a
), obtemos
A parcela
não depende de
, então sua derivada é zero. Logo
Passo 5
Derivada parcial em relação a
.
É análogo ao caso em
. Aplicando a regra da cadeia em
:
Aqui
, portanto
A parcela
não depende de
, então
Passo 6
Agora juntamos as três derivadas parciais para formar o gradiente:
Aplicando a relação
, invertemos o sinal de cada componente:
ou, escrevendo com os vetores unitários cartesianos,
Observação sobre domínio: essa expressão é válida somente nos pontos onde
e
(para que o potencial original esteja definido).