Exercicio: Mostre esquematicamente que o trabalho reversível de expansão é máximo.
Exercicio: Analise a expansão isotérmica reversível de um gás ideal (lembre que a energia do gás é dada por
\left.E=\frac{3}{2} n R T \quad \text { e que } \quad \Delta S=n R \ln \left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)\right) .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar esquematicamente que o trabalho de expansão reversível é máximo (comparado a expansões irreversíveis entre os mesmos estados).
  • Analisar a expansão isotérmica reversível de um gás ideal, lembrando que foi dada a energia E=\dfrac{3}{2}nRT e \Delta S=nR\ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right).
Informações relevantes que temos (e que vou usar):
  • Os estados inicial e final têm volumes V_1 e V_2 (com V_2>V_1 no caso de expansão).
  • Para um processo qualquer a expressão do trabalho realizado pelo sistema sobre o meio, usando a convenção que irei adotar (trabalho positivo quando feito pelo sistema), é
W=\int_{V_1}^{V_2} P_{\mathrm{ext}}(V)\,dV,
onde P_{\mathrm{ext}}(V) é a pressão externa que atua no sistema durante a expansão.
  • Para um processo reversível (quasiestático), a pressão externa é sempre igual à pressão interna do gás naquele instante: P_{\mathrm{ext}}(V)=P(V).
  • Para o gás ideal durante um processo isoterma temos a equação de estado P V = n R T.
  • A primeira lei da termodinâmica (com a convenção \Delta E = Q - W) será usada para relacionar calor Q, trabalho W e variação de energia interna \Delta E.

Passo 2

Explicar conceitos básicos que vou usar (bem devagar):
  • Trabalho em processos quasistáticos versus irreversíveis: se o volume muda de V para V+dV, a contribuição de trabalho infinitesimal é dW = P_{\mathrm{ext}}\,dV. Integrando de V_1 a V_2 obtém-se W=\int_{V_1}^{V_2}P_{\mathrm{ext}}\,dV.
  • O que significa processo reversível (quasiestático): é um processo feito por uma sequência infinita de estados de equilíbrio, de modo que a pressão externa que age no sistema é sempre igual (ou infinitesimalmente diferente) da pressão interna P(V). Logo, para um processo reversível, P_{\mathrm{ext}}(V)=P(V) ao longo do processo.
  • Para que haja expansão de V_1 para V_2 o sistema precisa “empurrar” contra uma pressão externa menor ou igual à pressão interna; ou seja, durante expansão real vale P_{\mathrm{ext}}(V)\le P(V) (caso contrário o sistema não se expande). Essa desigualdade é o ponto chave para comparar trabalhos.

Passo 3

Demonstração esquemática (integral e argumento de área sob a curva):
  • Escrevo o trabalho de um processo geral (irreversível possível):
W_{\mathrm{irrev}}=\int_{V_1}^{V_2} P_{\mathrm{ext}}(V)\,dV.
  • Para o processo reversível, como P_{\mathrm{ext}}(V)=P(V), o trabalho é
W_{\mathrm{rev}}=\int_{V_1}^{V_2} P(V)\,dV.
  • Durante uma expansão real, em cada incremento dV>0 devemos ter P_{\mathrm{ext}}(V)\le P(V) para que o sistema consiga expandir. Portanto, ponto a ponto sobre o intervalo [V_1,V_2] vale
P_{\mathrm{ext}}(V)\le P(V).
  • Integrando essa desigualdade sobre V entre V_1 e V_2 obtemos
\int_{V_1}^{V_2} P_{\mathrm{ext}}(V)\,dV \le \int_{V_1}^{V_2} P(V)\,dV,
ou seja
W_{\mathrm{irrev}} \le W_{\mathrm{rev}}.
  • Conclusão formal: o trabalho realizado pelo sistema durante uma expansão entre os mesmos volumes é máximo quando o processo é reversível.

Passo 4

Interpretação geométrica (esquemática, sem cálculos pesados):
  • No diagrama P versus V, o trabalho realizado pelo sistema é a área sob a curva P_{\mathrm{ext}}(V) entre V_1 e V_2.
  • A curva correspondente ao processo reversível é a curva de pressão interna P(V). Como em expansão real P_{\mathrm{ext}}(V) fica sempre abaixo (ou igual) a P(V), a área sob P_{\mathrm{ext}}(V) é menor ou igual à área sob P(V).
  • Logo, a área (trabalho) é máxima para o caso reversível: é o maior “retângulo/área” que se pode construir sob as restrições impostas pelos estados inicial e final.

Passo 5

Observação sobre compressão (para completar a intuição):
  • Se em vez de expansão houvesse compressão (redução de volume), para que o sistema seja levado para menor V precisaríamos de P_{\mathrm{ext}}(V)\ge P(V) e, integrando, isso dá W_{\mathrm{irrev}}\ge W_{\mathrm{rev}} (usando o mesmo sinal de trabalho). Assim, para compressão, o trabalho recebido pelo sistema é mínimo se o processo for reversível. Em palavras: reversibilidade extrai máximo trabalho se o sistema realiza trabalho; para o trabalho feito no sistema (compressão) a reversibilidade minimiza o trabalho necessário.

Passo 6

Agora: análise da expansão isotérmica reversível de um gás ideal — passo a passo e bem didático.
  • Primeiro, a equação de estado do gás ideal é
P V = n R T,
onde P é pressão interna do gás, V o volume, n número de mols, R a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta.
  • Isotérmico significa que T é constante durante todo o processo. Para um gás ideal, a energia interna depende apenas de T. Como foi dado,
E=\frac{3}{2} n R T.
Explicando: aqui foi usado o modelo monoatômico ideal (por isso o 3/2); o importante é que E é função de T apenas. Portanto, para um processo isotérmico \Delta T=0 e então
\Delta E=0.
  • Use agora a primeira lei da termodinâmica com a convenção \Delta E = Q - W, onde Q é o calor absorvido pelo sistema e W o trabalho realizado pelo sistema. Como \Delta E=0, segue
0 = Q - W \quad\Rightarrow\quad Q = W.
Interpretação simples: tudo o que o gás faz de trabalho vem do calor que entra, porque a energia interna não muda.

Passo 7

Cálculo explícito do trabalho reversível:
  • Para o processo reversível temos P(V)=\dfrac{nRT}{V}. Assim
W_{\mathrm{rev}}=\int_{V_1}^{V_2} P(V)\,dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{n R T}{V}\,dV.
  • Como n,R,T são constantes no processo isotérmico, o integral é direto:
W_{\mathrm{rev}}=n R T \int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V} = n R T \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
  • Pelo passo anterior Q_{\mathrm{rev}}=W_{\mathrm{rev}}, logo
Q_{\mathrm{rev}}=n R T \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).

Passo 8

Ligação com entropia (consistência com o dado):
  • A mudança de entropia para um processo reversível é \Delta S = \dfrac{Q_{\mathrm{rev}}}{T}. Substituindo o Q_{\mathrm{rev}} obtido:
\Delta S = \frac{n R T \ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)}{T} = n R \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right),
que coincide com a expressão dada no enunciado. Isso mostra consistência interna: expansão isotérmica reversível de gás ideal tem \Delta E=0, calor e trabalho iguais e entropia dada pela fórmula fornecida.
  • Observação de sinal: se V_2>V_1 (expansão) então \Delta S>0, ou seja, a entropia aumenta.

Passo 9

Resumo físico e dicas para a prova (jeito de lembrar rápido):
  • Para mostrar que trabalho reversível é máximo: usar W=\int P_{\mathrm{ext}}\,dV e que durante expansão P_{\mathrm{ext}}\le P; integrar a desigualdade para obter W_{\mathrm{irrev}}\le W_{\mathrm{rev}}. Desenhe o diagrama P- V e compare áreas — isso costuma convencer o examinador visualmente.
  • Para a isotérmica reversível do gás ideal: lembrar que \Delta E=0 (porque E\propto T), então Q=W. Calcule W pela integral de P(V)=nRT/V e use \Delta S = Q_{\mathrm{rev}}/T para obter a entropia. Essas três fórmulas juntas resolvem quase qualquer questão padrão sobre isotérmica reversível.

Resposta

O trabalho de expansão reversível é o máximo entre processos que levam o sistema de V_1 a V_2:
W_{\mathrm{rev}}=\int_{V_1}^{V_2} P(V)\,dV,\qquad W_{\mathrm{irrev}}=\int_{V_1}^{V_2} P_{\mathrm{ext}}(V)\,dV\le W_{\mathrm{rev}}.
Para a expansão isotérmica reversível de gás ideal:
\Delta E=0,\qquad W_{\mathrm{rev}}=Q_{\mathrm{rev}}=nRT\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right),\qquad \Delta S=nR\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).

Exercícios relacionados