Exercicio: Mostre esquematicamente que o trabalho reversível de expansão é máximo.
Exercicio: Analise a expansão isotérmica reversível de um gás ideal (lembre que a energia do gás é dada por
Exercicio: Analise a expansão isotérmica reversível de um gás ideal (lembre que a energia do gás é dada por
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar esquematicamente que o trabalho de expansão reversível é máximo (comparado a expansões irreversíveis entre os mesmos estados).
- Analisar a expansão isotérmica reversível de um gás ideal, lembrando que foi dada a energia
e .
Informações relevantes que temos (e que vou usar):
- Os estados inicial e final têm volumes
e (com no caso de expansão). - Para um processo qualquer a expressão do trabalho realizado pelo sistema sobre o meio, usando a convenção que irei adotar (trabalho positivo quando feito pelo sistema), é
onde
é a pressão externa que atua no sistema durante a expansão.
- Para um processo reversível (quasiestático), a pressão externa é sempre igual à pressão interna do gás naquele instante:
. - Para o gás ideal durante um processo isoterma temos a equação de estado
. - A primeira lei da termodinâmica (com a convenção
) será usada para relacionar calor , trabalho e variação de energia interna .
Passo 2
Explicar conceitos básicos que vou usar (bem devagar):
- Trabalho em processos quasistáticos versus irreversíveis: se o volume muda de
para , a contribuição de trabalho infinitesimal é . Integrando de a obtém-se . - O que significa processo reversível (quasiestático): é um processo feito por uma sequência infinita de estados de equilíbrio, de modo que a pressão externa que age no sistema é sempre igual (ou infinitesimalmente diferente) da pressão interna
. Logo, para um processo reversível, ao longo do processo. - Para que haja expansão de
para o sistema precisa “empurrar” contra uma pressão externa menor ou igual à pressão interna; ou seja, durante expansão real vale (caso contrário o sistema não se expande). Essa desigualdade é o ponto chave para comparar trabalhos.
Passo 3
Demonstração esquemática (integral e argumento de área sob a curva):
- Escrevo o trabalho de um processo geral (irreversível possível):
- Para o processo reversível, como
, o trabalho é
- Durante uma expansão real, em cada incremento
devemos ter para que o sistema consiga expandir. Portanto, ponto a ponto sobre o intervalo vale
- Integrando essa desigualdade sobre
entre e obtemos
ou seja
- Conclusão formal: o trabalho realizado pelo sistema durante uma expansão entre os mesmos volumes é máximo quando o processo é reversível.
Passo 4
Interpretação geométrica (esquemática, sem cálculos pesados):
- No diagrama
versus , o trabalho realizado pelo sistema é a área sob a curva entre e . - A curva correspondente ao processo reversível é a curva de pressão interna
. Como em expansão real fica sempre abaixo (ou igual) a , a área sob é menor ou igual à área sob . - Logo, a área (trabalho) é máxima para o caso reversível: é o maior “retângulo/área” que se pode construir sob as restrições impostas pelos estados inicial e final.
Passo 5
Observação sobre compressão (para completar a intuição):
- Se em vez de expansão houvesse compressão (redução de volume), para que o sistema seja levado para menor
precisaríamos de e, integrando, isso dá (usando o mesmo sinal de trabalho). Assim, para compressão, o trabalho recebido pelo sistema é mínimo se o processo for reversível. Em palavras: reversibilidade extrai máximo trabalho se o sistema realiza trabalho; para o trabalho feito no sistema (compressão) a reversibilidade minimiza o trabalho necessário.
Passo 6
Agora: análise da expansão isotérmica reversível de um gás ideal — passo a passo e bem didático.
- Primeiro, a equação de estado do gás ideal é
onde
é pressão interna do gás,
o volume,
número de mols,
a constante universal dos gases e
a temperatura absoluta.
- Isotérmico significa que
é constante durante todo o processo. Para um gás ideal, a energia interna depende apenas de . Como foi dado,
Explicando: aqui foi usado o modelo monoatômico ideal (por isso o
); o importante é que
é função de
apenas. Portanto, para um processo isotérmico
e então
- Use agora a primeira lei da termodinâmica com a convenção
, onde é o calor absorvido pelo sistema e o trabalho realizado pelo sistema. Como , segue
Interpretação simples: tudo o que o gás faz de trabalho vem do calor que entra, porque a energia interna não muda.
Passo 7
Cálculo explícito do trabalho reversível:
- Para o processo reversível temos
. Assim
- Como
são constantes no processo isotérmico, o integral é direto:
- Pelo passo anterior
, logo
Passo 8
Ligação com entropia (consistência com o dado):
- A mudança de entropia para um processo reversível é
. Substituindo o obtido:
que coincide com a expressão dada no enunciado. Isso mostra consistência interna: expansão isotérmica reversível de gás ideal tem
, calor e trabalho iguais e entropia dada pela fórmula fornecida.
- Observação de sinal: se
(expansão) então , ou seja, a entropia aumenta.
Passo 9
Resumo físico e dicas para a prova (jeito de lembrar rápido):
- Para mostrar que trabalho reversível é máximo: usar
e que durante expansão ; integrar a desigualdade para obter . Desenhe o diagrama - e compare áreas — isso costuma convencer o examinador visualmente. - Para a isotérmica reversível do gás ideal: lembrar que
(porque ), então . Calcule pela integral de e use para obter a entropia. Essas três fórmulas juntas resolvem quase qualquer questão padrão sobre isotérmica reversível.
Resposta
O trabalho de expansão reversível é o máximo entre processos que levam o sistema de
a
:
Para a expansão isotérmica reversível de gás ideal: