Exercício 5 (Roma, 3.6): O abastecimento atual de uma indústria é feito por meio de uma bomba cujas características de altura manométrica e rendimento são dadas pela tabela a seguir. Determine o a potência de acionamento e plote um gráfico de altura manométrica, rendimento e potência de acionamento em função da vazão.
\mathrm{Q}\left( \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}\right) 86 107 138 175 206 236 253
\mathrm{H}(\mathrm{mca}) 25,5 24,7 23,6 22,5 21,6 19,5 15,0
\mathrm{n}(\%) 70 75 80 82 80 75 70

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei estes números da tabela fornecida) e pede duas coisas: determinar a potência de acionamento da bomba e plotar gráficos de altura manométrica, rendimento e potência de acionamento em função da vazão.
  • Vazões Q (em \mathrm{m}^3/\mathrm{h}): 86,\\\ 107,\\\ 138,\\\ 175,\\\ 206,\\\ 236,\\\ 253
  • Alturas manométricas H (em \mathrm{m} de coluna d’água): 25{,}5,\\\ 24{,}7,\\\ 23{,}6,\\\ 22{,}5,\\\ 21{,}6,\\\ 19{,}5,\\\ 15{,}0
  • Rendimentos \eta (em \%): 70,\\\ 75,\\\ 80,\\\ 82,\\\ 80,\\\ 75,\\\ 70
O que o enunciado pede:
  • Calcular a potência de acionamento (potência de eixo/motor) para cada par (Q,H,\eta).
  • Plotar os gráficos H versus Q, \eta versus Q e P_{\text{mot}} versus Q.

Passo 2

Fórmulas e conceitos importantes (aula rápida, sem pular etapas).
  • Potência hidráulica (energia por unidade de tempo entregue ao fluido) é dada por
P_{\text{hid}}=\rho\,g\,Q_{\text{s}}\,H,
onde:
  • \rho é a massa específica do fluido ( \mathrm{kg/m}^3);
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s}^2);
  • Q_{\text{s}} é a vazão em \mathrm{m}^3/\mathrm{s};
  • H é a altura manométrica em \mathrm{m};
  • P_{\text{hid}} fica em \mathrm{W} se as unidades acima forem respeitadas.
  • A potência de acionamento (potência de eixo do motor), que é o que o enunciado pede, é maior que a potência hidráulica devido às perdas internas da bomba. Relaciona-se com o rendimento \eta por
P_{\text{mot}}=\frac{P_{\text{hid}}}{\eta},
onde \eta é o rendimento em fração (por exemplo 70\%\Rightarrow\eta=0{,}70).
  • Conversões e constantes usadas (valores típicos, expliquei por que escolhi):
    • \rho=1000\\ \mathrm{kg/m}^3 (água);
    • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2;
    • vazões da tabela estão em \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, converter para \mathrm{m}^3/\mathrm{s} por Q_{\text{s}}=\frac{Q}{3600}.
  • Substituindo \rho e g e fazendo a conversão de Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{h} diretamente, obtém-se uma forma prática:
P_{\text{hid}}(\mathrm{W})=\rho g Q_{\text{s}} H = \frac{\rho g}{3600}\,Q(\mathrm{m}^3/\mathrm{h})\,H.
Com \rho g=1000\cdot 9{,}81=9810 temos
P_{\text{hid}}(\mathrm{W})= \frac{9810}{3600}\,Q\,H \approx 2{,}725\,Q\,H,
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P_{\text{mot}}(\mathrm{W})=\frac{2{,}725\,Q\,H}{\eta}.
Em quilowatts:
P_{\text{mot}}(\mathrm{kW})=\frac{0{,}002725\,Q\,H}{\eta}.
Explicação: o fator 2{,}725 resulta de combinar \rho, g e a conversão de horas para segundos; usar essa forma evita fazer muitas conversões repetidas na prova.

Passo 3

Vou transformar os rendimentos percentuais em frações e calcular passo a passo o primeiro ponto para mostrar o método detalhado (depois aplico o mesmo processo aos demais pontos).
Para Q=86\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, H=25{,}5\\ \mathrm{m}, \eta=70\%\Rightarrow\eta=0{,}70.
  1. Produto Q\cdot H:
Q\cdot H = 86 \times 25{,}5 = 2193.
  1. Potência hidráulica em watts usando o fator:
P_{\text{hid}} = 2{,}725 \times 2193 = 5975{,}925\\ \mathrm{W}.
Explicando a conta: multiplica-se 2193 por 2 e por 0{,}725 separadamente e soma-se.
  1. Potência de acionamento (entrada do motor):
P_{\text{mot}} = \frac{5975{,}925}{0{,}70} = 8537{,}036\\ \mathrm{W} \approx 8{,}537\\ \mathrm{kW}.

Passo 4

Aplicando o mesmo processo para Q=107\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, H=24{,}7\\ \mathrm{m}, \eta=0{,}75.
  1. Q\cdot H = 107 \times 24{,}7 = 2642{,}9.
  2. P_{\text{hid}} = 2{,}725 \times 2642{,}9 = 7201{,}903\\ \mathrm{W}.
  3. P_{\text{mot}} = \dfrac{7201{,}903}{0{,}75} = 9602{,}538\\ \mathrm{W} \approx 9{,}603\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Para Q=138\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, H=23{,}6\\ \mathrm{m}, \eta=0{,}80.
  1. Q\cdot H = 138 \times 23{,}6 = 3256{,}8.
  2. P_{\text{hid}} = 2{,}725 \times 3256{,}8 = 8874{,}780\\ \mathrm{W}.
  3. P_{\text{mot}} = \dfrac{8874{,}780}{0{,}80} = 11093{,}475\\ \mathrm{W} \approx 11{,}093\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Para Q=175\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, H=22{,}5\\ \mathrm{m}, \eta=0{,}82.
  1. Q\cdot H = 175 \times 22{,}5 = 3937{,}5.
  2. P_{\text{hid}} = 2{,}725 \times 3937{,}5 = 10729{,}688\\ \mathrm{W}.
  3. P_{\text{mot}} = \dfrac{10729{,}688}{0{,}82} = 13084{,}739\\ \mathrm{W} \approx 13{,}085\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Para Q=206\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, H=21{,}6\\ \mathrm{m}, \eta=0{,}80.
  1. Q\cdot H = 206 \times 21{,}6 = 4449{,}6.
  2. P_{\text{hid}} = 2{,}725 \times 4449{,}6 = 12125{,}160\\ \mathrm{W}.
  3. P_{\text{mot}} = \dfrac{12125{,}160}{0{,}80} = 15156{,}450\\ \mathrm{W} \approx 15{,}156\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Para Q=236\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, H=19{,}5\\ \mathrm{m}, \eta=0{,}75.
  1. Q\cdot H = 236 \times 19{,}5 = 4602.
  2. P_{\text{hid}} = 2{,}725 \times 4602 = 12540{,}450\\ \mathrm{W}.
  3. P_{\text{mot}} = \dfrac{12540{,}450}{0{,}75} = 16720{,}600\\ \mathrm{W} \approx 16{,}721\\ \mathrm{kW}.

Passo 9

Para Q=253\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, H=15{,}0\\ \mathrm{m}, \eta=0{,}70.
  1. Q\cdot H = 253 \times 15{,}0 = 3795.
  2. P_{\text{hid}} = 2{,}725 \times 3795 = 10341{,}375\\ \mathrm{W}.
  3. P_{\text{mot}} = \dfrac{10341{,}375}{0{,}70} = 14773{,}393\\ \mathrm{W} \approx 14{,}773\\ \mathrm{kW}.

Passo 10

Resumo dos resultados (tabela de fácil leitura). Apresentei os cálculos detalhados acima; aqui está a tabela com as potências de acionamento em kW (arredondadas a três casas decimais):
  • Q=86\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:\\ P_{\text{mot}}=8{,}537\\ \mathrm{kW}.
  • Q=107\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:\\ P_{\text{mot}}=9{,}603\\ \mathrm{kW}.
  • Q=138\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:\\ P_{\text{mot}}=11{,}093\\ \mathrm{kW}.
  • Q=175\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:\\ P_{\text{mot}}=13{,}085\\ \mathrm{kW}.
  • Q=206\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:\\ P_{\text{mot}}=15{,}156\\ \mathrm{kW}.
  • Q=236\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:\\ P_{\text{mot}}=16{,}721\\ \mathrm{kW}.
  • Q=253\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:\\ P_{\text{mot}}=14{,}773\\ \mathrm{kW}.
Observação pedagógica: note que a potência de acionamento não cresce monotonicamente com Q porque H e \eta também variam; por exemplo, o último ponto tem queda forte em H reduzindo a potência mesmo com vazão maior.

Passo 11

Instruções para plotar os gráficos (como fazer na prova ou no PC):
  • Eixos:
    • eixo x: vazão Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{h};
    • eixo y: variável a ser plotada (faça três curvas separadas ou três subplots): H em \mathrm{m}, \eta em \% e P_{\text{mot}} em \mathrm{kW}.
  • Pontos a plottar (peguei os valores da tabela e dos cálculos):
    • Q: 86,107,138,175,206,236,253.
    • H: 25{,}5,24{,}7,23{,}6,22{,}5,21{,}6,19{,}5,15{,}0.
    • \eta (%): 70,75,80,82,80,75,70.
    • P_{\text{mot}} ( \mathrm{kW}): 8{,}537,9{,}603,11{,}093,13{,}085,15{,}156,16{,}721,14{,}773.
  • Dicas de apresentação:
    • Plote H(Q) e P_{\text{mot}}(Q) com linhas e marcadores (por exemplo linha contínua com círculo nos pontos) para ver tendência. Plote \eta(Q) com marcadores e, se necessário, use um segundo eixo y à direita para \eta (porque tem unidade \%).
    • Marque os pontos dados na tabela; se quiser suavizar, faça interpolação polinomial ou spline (mas na prova normalmente basta ligar pontos com linha reta).
    • Coloque legendas, rótulos de eixos e grade para facilitar leitura.
Se desejar um exemplo rápido de código para gerar os gráficos (no computador), posso mandar; se preferir, explico passo a passo como desenhar à mão na folha da prova.

Resposta

Q=86\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:\\ P_{\text{mot}}=8{,}537\\ \mathrm{kW}
Q=107\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:\\ P_{\text{mot}}=9{,}603\\ \mathrm{kW}
Q=138\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:\\ P_{\text{mot}}=11{,}093\\ \mathrm{kW}
Q=175\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:\\ P_{\text{mot}}=13{,}085\\ \mathrm{kW}
Q=206\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:\\ P_{\text{mot}}=15{,}156\\ \mathrm{kW}
Q=236\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:\\ P_{\text{mot}}=16{,}721\\ \mathrm{kW}
Q=253\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:\\ P_{\text{mot}}=14{,}773\\ \mathrm{kW}

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