Exercício 5 (Roma, 3.6): O abastecimento atual de uma indústria é feito por meio de uma bomba cujas características de altura manométrica e rendimento são dadas pela tabela a seguir. Determine o a potência de acionamento e plote um gráfico de altura manométrica, rendimento e potência de acionamento em função da vazão.
86
107
138
175
206
236
253
25,5
24,7
23,6
22,5
21,6
19,5
15,0
70
75
80
82
80
75
70
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86 | 107 | 138 | 175 | 206 | 236 | 253 |
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25,5 | 24,7 | 23,6 | 22,5 | 21,6 | 19,5 | 15,0 |
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70 | 75 | 80 | 82 | 80 | 75 | 70 |
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei estes números da tabela fornecida) e pede duas coisas: determinar a potência de acionamento da bomba e plotar gráficos de altura manométrica, rendimento e potência de acionamento em função da vazão.
- Vazões
(em ): - Alturas manométricas
(em de coluna d’água): - Rendimentos
(em ):
O que o enunciado pede:
- Calcular a potência de acionamento (potência de eixo/motor) para cada par
. - Plotar os gráficos
versus , versus e versus .
Passo 2
Fórmulas e conceitos importantes (aula rápida, sem pular etapas).
- Potência hidráulica (energia por unidade de tempo entregue ao fluido) é dada por
onde:
-
é a massa específica do fluido ( ); -
é a aceleração da gravidade ( ); -
é a vazão em ; -
é a altura manométrica em ; -
fica em se as unidades acima forem respeitadas. -
A potência de acionamento (potência de eixo do motor), que é o que o enunciado pede, é maior que a potência hidráulica devido às perdas internas da bomba. Relaciona-se com o rendimento
por
onde
é o rendimento em fração (por exemplo
).
-
Conversões e constantes usadas (valores típicos, expliquei por que escolhi):
-
(água); -
; - vazões da tabela estão em
, converter para por
-
-
Substituindo
e e fazendo a conversão de em diretamente, obtém-se uma forma prática:
Com
temos
logo
Em quilowatts:
Explicação: o fator
resulta de combinar
,
e a conversão de horas para segundos; usar essa forma evita fazer muitas conversões repetidas na prova.
Passo 3
Vou transformar os rendimentos percentuais em frações e calcular passo a passo o primeiro ponto para mostrar o método detalhado (depois aplico o mesmo processo aos demais pontos).
Para
,
,
.
- Produto
:
- Potência hidráulica em watts usando o fator:
Explicando a conta: multiplica-se
por
e por
separadamente e soma-se.
- Potência de acionamento (entrada do motor):
Passo 4
Aplicando o mesmo processo para
,
,
.
Passo 5
Para
,
,
.
Passo 6
Para
,
,
.
Passo 7
Para
,
,
.
Passo 8
Para
,
,
.
Passo 9
Para
,
,
.
Passo 10
Resumo dos resultados (tabela de fácil leitura). Apresentei os cálculos detalhados acima; aqui está a tabela com as potências de acionamento em kW (arredondadas a três casas decimais):
Observação pedagógica: note que a potência de acionamento não cresce monotonicamente com
porque
e
também variam; por exemplo, o último ponto tem queda forte em
reduzindo a potência mesmo com vazão maior.
Passo 11
Instruções para plotar os gráficos (como fazer na prova ou no PC):
- Eixos:
- eixo
: vazão em ; - eixo
: variável a ser plotada (faça três curvas separadas ou três subplots): em , em e em .
- eixo
- Pontos a plottar (peguei os valores da tabela e dos cálculos):
-
: . -
: . -
(%): . -
( ): .
-
- Dicas de apresentação:
- Plote
e com linhas e marcadores (por exemplo linha contínua com círculo nos pontos) para ver tendência. Plote com marcadores e, se necessário, use um segundo eixo à direita para (porque tem unidade ). - Marque os pontos dados na tabela; se quiser suavizar, faça interpolação polinomial ou spline (mas na prova normalmente basta ligar pontos com linha reta).
- Coloque legendas, rótulos de eixos e grade para facilitar leitura.
- Plote
Se desejar um exemplo rápido de código para gerar os gráficos (no computador), posso mandar; se preferir, explico passo a passo como desenhar à mão na folha da prova.